东华OJ基础题解析：因子计算与数字变换技巧

1. 算法刷题实战：东华OJ基础16-18题深度解析

最近在准备东华大学计算机复试的机试环节，刷了不少OJ题目。今天想和大家分享三道比较有代表性的基础题（编号16-18），这几道题看似简单，但想要高效解决还是需要一些技巧的。我会详细分析每道题的解题思路，并给出优化建议。

2. 基础16题：因子和与数的比值计算

2.1 题目重述

给定一个正整数N，计算N的所有因子之和与N的比值，结果保留两位小数。例如N=6时，因子为1,2,3,6，和为12，比值为2.00。

2.2 解题思路分析

这道题的核心在于如何高效找出一个数的所有因子。最直观的方法是遍历1到N，检查每个数是否能整除N。但这种方法时间复杂度为O(N)，当N较大时效率不高。

优化思路是只需遍历到√N：

• 如果i是N的因子，那么N/i也是因子
• 需要处理完全平方数的情况，避免重复计算

2.3 代码实现与优化

原代码采用了遍历到N/2的方法，虽然不是最优，但对于OJ题目通常够用。这里给出优化后的版本：

c复制#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    int N;
    while (scanf("%d", &N) != EOF) {
        int sum = 1 + N; // 1和N本身一定是因子
        for (int i = 2; i <= sqrt(N); i++) {
            if (N % i == 0) {
                sum += i;
                if (i != N/i) sum += N/i; // 避免重复加完全平方数
            }
        }
        printf("%.2f\n", (float)sum / N);
    }
    return 0;
}

注意：在OJ系统中，有时简单的实现反而比过度优化的代码更不容易出错，特别是在时间限制不严格的情况下。

2.4 常见错误与调试技巧

1. 忘记处理N=1的特殊情况（1的因子只有自己）
2. 浮点数精度问题：确保在最后一步才做除法，避免中间过程损失精度
3. 输出格式：必须严格保留两位小数，使用"%.2f"

3. 基础17题：数字变换与倍数关系

3.1 题目理解

给定倍数T，寻找最小的正整数N满足：

1. N的个位是7
2. 将N的个位移到最高位，其余数字右移一位得到M
3. M = T × N
4. 如果N超过1,000,000仍未找到，输出"No"

例如T=3时，N=179487，因为：
179487 → 717948
717948 = 3 × 179487

3.2 数学建模与算法设计

这道题需要将数字变换转化为数学表达式。设：

• N = 10a + 7 （a是去掉个位后的数字）
• M = 7×10^k + a （k是a的位数）

根据题意有：7×10^k + a = T×(10a +7)
解这个方程可以得到：a = (7×10^k - 7T)/(10T -1)

因此算法步骤：

1. 枚举k从1开始
2. 计算分子和分母
3. 检查a是否为整数且在合理范围内
4. 构造N=10a+7并验证

3.3 优化实现

原代码采用暴力枚举，效率较低。改进版可以利用数学关系缩小搜索范围：

c复制#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    int T;
    while (scanf("%d", &T) != EOF) {
        int found = 0;
        for (int k = 1; k <= 6; k++) { // 因为N<=1e6，所以k最多6位
            long numerator = 7 * (pow(10, k) - T);
            long denominator = 10 * T - 1;
            if (denominator <= 0) continue;
            
            if (numerator % denominator == 0) {
                long a = numerator / denominator;
                if (a >= 0) {
                    long N = 10 * a + 7;
                    if (N <= 1000000) {
                        printf("%ld\n", N);
                        found = 1;
                        break;
                    }
                }
            }
        }
        if (!found) printf("No\n");
    }
    return 0;
}

3.4 调试经验分享

1. 注意整数溢出问题，当k较大时10^k会很大，需要使用long类型
2. 验证边界条件，特别是T=1时应该有解N=7
3. 当T=0时题目可能无意义，但通常OJ测试用例不会包含这种情况

4. 基础18题：数字三角形生成

4.1 题目要求

给定起始数字s和三角形行数n，构建数字三角形：

• 第1行1个数字
• 第2行2个数字
• ...
• 第n行n个数字
  数字从s开始按1-9循环填充

例如s=1，n=5：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 1
2 3 4 5 6

4.2 实现思路分析

这道题主要考察循环控制和格式化输出。关键点：

1. 使用取模运算实现1-9的循环
2. 正确控制行数和每行的数字个数
3. 注意数字间的空格和行尾换行

4.3 代码实现细节

原代码已经比较清晰，这里稍作优化：

c复制#include <stdio.h>

int main() {
    int s, n;
    while (scanf("%d %d", &s, &n) != EOF) {
        int current = s - 1; // 调整为0-based便于取模
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                current = (current % 9) + 1; // 保证在1-9之间循环
                printf("%d", current);
                if (j < i) printf(" ");
            }
            printf("\n");
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

4.4 常见问题与解决

1. 数字循环处理不当：确保取模运算正确，避免出现0
2. 输出格式错误：每行最后一个数字后不应有空格
3. 起始数字处理：题目中s=1对应数组中的0索引，需要调整
4. 多组数据间的空行：注意题目要求的输出格式

5. 刷题经验总结

这三道题虽然被标记为"基础"，但涵盖了算法竞赛中的几个重要方面：

1. 数学建模能力（特别是17题）
2. 边界条件处理
3. 循环控制和格式化输出
4. 时间复杂度的分析和优化

在实际刷题过程中，我有几点心得：

1. 先确保正确性再优化：第一版代码可以先写直观解法，通过后再考虑优化
2. 测试用例要全面：包括边界值、特殊值（如0、1、极大值等）
3. 输出格式必须严格符合要求：OJ系统通常是自动判题，格式错误也会导致失败
4. 数学知识很重要：很多看似复杂的问题可以通过数学推导简化

对于准备机试的同学，建议：

1. 每天保持一定的刷题量
2. 做好错题整理，分析错误原因
3. 对于经典算法（如排序、查找、DFS/BFS等）要熟练掌握
4. 注意代码风格和可读性，良好的习惯在面试中也很重要