动态规划解力扣1458：两个子序列的最大点积

1. 题目解析与核心概念

今天我们来拆解力扣第1458题——"两个子序列的最大点积"。这是一道典型的动态规划问题，考察我们对子序列和点积概念的理解，以及如何将问题分解为可递归解决的子问题。

首先明确几个关键概念：

1. 子序列：通过删除原数组中某些元素（可能一个也不删除）后剩余数字组成的序列，但不能改变数字间相对顺序。例如：

   • [2,3,5] 是 [1,2,3,4,5] 的子序列
   • [1,5,3] 不是 [1,2,3,4,5] 的子序列（顺序改变了）

2. 点积：对于两个长度相同的序列a和b，它们的点积是对应位置元素相乘后的总和。数学表达式为：

   code复制a·b = Σ(a_i * b_i) for i from 1 to n
   

题目要求我们找到nums1和nums2中两个长度相同的非空子序列，使它们的点积最大。注意几个关键约束：

• 子序列必须非空
• 两个子序列长度必须相同
• 可以全选原数组（即子序列等于原数组本身）

2. 动态规划解题思路

2.1 问题分析与状态定义

这道题属于典型的二维动态规划问题。我们需要考虑两个数组的各种组合情况，因此状态定义需要包含两个维度：

设 dp[i][j] 表示：

• nums1前i个元素（即nums1[0..i-1]）
• nums2前j个元素（即nums2[0..j-1]）
  能构成的最大点积。

为什么这样定义？因为我们需要考虑两个数组的各种前缀组合，逐步构建最终解。

2.2 状态转移方程

对于每个位置(i,j)，我们有几种选择：

1. 只选择当前两个元素：即子序列只包含nums1[i-1]和nums2[j-1]

   • 点积就是nums1[i-1] * nums2[j-1]

2. 不选nums1当前元素：继承dp[i-1][j]的结果

   • 相当于nums1的子序列不包含nums1[i-1]

3. 不选nums2当前元素：继承dp[i][j-1]的结果

   • 相当于nums2的子序列不包含nums2[j-1]

4. 同时选择当前两个元素，并加上前面的最优解：

   • dp[i-1][j-1] + nums1[i-1]*nums2[j-1]
   • 这相当于在前面的最优子序列基础上追加当前两个元素

因此，状态转移方程为：

java复制dp[i][j] = max(
    nums1[i-1] * nums2[j-1],  // 只选当前两个
    dp[i-1][j],               // 不选nums1当前
    dp[i][j-1],               // 不选nums2当前
    dp[i-1][j-1] + nums1[i-1