分形之城算法：递归与坐标变换的竞赛应用

1. 分形之城：算法竞赛中的空间思维训练

这道来自《算法竞赛进阶指南》的经典题目，本质上是一个考察递归与空间想象能力的数学建模问题。题目要求我们计算在特定分形规则下生成的城市中，两个指定房屋之间的直线距离。这种将数学分形与坐标系转换结合的题型，在ICPC和NOI系列赛事中屡见不鲜。

我第一次接触这个问题时，被它优雅的递归结构所吸引。不同于普通的平面几何题，分形之城要求我们理解自相似结构中的坐标变换规律。这就像用代码来模拟俄罗斯套娃——每个小娃娃都完整保留了母体的形态特征，只是尺寸按比例缩小。

2. 问题建模与核心思路

2.1 题目形式化描述

给定一个等级为N的分形城市（1≤N≤31），城市按照以下规则生成：

• 等级1的城市由4个街区组成，构成一个"⊏"形
• 更高等级的城市由4个低一级的城市按特定规律组合而成

要求计算等级N的城市中，编号为A和B的两个房屋之间的直线距离（取整数部分）。

2.2 分形结构的递归特性

观察城市生成规律，可以发现三个关键特征：

1. 自相似性：每个等级的城市由4个前等级城市构成
2. 空间变换：不同位置的子城市存在旋转或镜像变换
3. 规模倍增：每增加一级，城市尺寸扩大2倍

这提示我们可以采用分治策略——将高等级问题分解为低等级子问题处理。具体来说，确定房屋编号所属的子城市后，通过坐标变换将其映射到父级坐标系中。

3. 坐标变换的数学推导

3.1 编号到子城市的映射

对于编号为k的房屋（0-based），其所在的子城市索引为：

code复制city_idx = k / (size_{n-1}^2)

其中size_{n-1}表示n-1级城市的边长（2^{n-1}）。

3.2 子城市内部的坐标转换

设子城市内部坐标为(x', y')，则不同子城市需要应用不同的变换：