机场廊桥分配算法：堆优化与资源调度实践

硅谷IT胖子

1. 问题背景与核心思路

机场廊桥分配问题是一个典型的资源调度优化场景。想象一下，你负责管理一个新建机场的廊桥资源，需要决定如何将有限的廊桥分配给国内和国际航班，使得尽可能多的飞机能够停靠在廊桥（而不是远机位），从而提升乘客体验。

这个问题的核心在于：给定n个廊桥、m1个国内航班和m2个国际航班的起降时间，如何分配廊桥数量（国内区x个，国际区n-x个）才能让停靠廊桥的飞机总数最多？关键在于理解以下几点：

廊桥使用遵循"先到先得"原则
每个航班必须严格在指定区域（国内/国际）使用廊桥
跑道单线程，不存在同时到达的航班
远机位数量无限（只要廊桥不够就使用远机位）

2. 算法设计思路解析

2.1 暴力法的局限性

最直观的想法是枚举所有可能的分配方案（国内0~n个，国际n~0个），对每种方案模拟航班停靠过程，最后取最优解。但这种方法时间复杂度为O(n*(m1+m2)*n)，当n和m达到1e5时显然不可行。

2.2 关键观察与优化思路

突破点在于发现：当把所有廊桥分配给单一区域时，每个廊桥的占用情况是确定的。具体来说：

如果把所有n个廊桥都给国内航班，可以计算出每个廊桥i（i从0到n-1）会服务多少架飞机，记作a[i]
同理，全部给国际航班时得到b[i]
那么当国内分配k个廊桥时，能服务的飞机数就是a[0]+a[1]+...+a[k-1]（前缀和）
国际分配n-k个时服务b[0]+...+b[n-k-1]
总服务数就是两者之和

这样，我们只需要：

预处理a和b的前缀和数组
枚举k从0到n，计算prea[k]+preb[n-k]
取最大值即可

2.3 堆（优先队列）的应用

计算a和b数组需要高效管理廊桥的占用状态。这里使用两个小根堆：

idle堆：存储当前可用的廊桥编号（总保持最小可用编号在堆顶）
busy堆：存储正在使用的廊桥，按飞机离开时间排序（最早离开的在堆顶）

算法流程：

对所有航班按到达时间排序
初始化idle堆包含所有廊桥（0~n-1）
对于每个航班：
- 检查busy堆顶是否有已离开的飞机，释放其廊桥回idle堆
- 如果有可用廊桥，分配编号最小的，并记录该廊桥服务数+1
- 将该航班加入busy堆（离开时间+分配的廊桥编号）

3. 代码实现详解

3.1 数据结构定义

cpp复制priority_queue<int, vector<int>, greater<>> idle; // 空闲廊桥（小根堆）
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<>> busy; 
// 正在使用的廊桥，pair<离开时间, 廊桥编号>
vector<int> cnt(N); // 记录每个廊桥服务的飞机数

3.2 核心处理函数

cpp复制auto Do = [&](vector<pair<int, int>>& ab) {
    // 清空并初始化堆
    while(idle.size()) idle.pop();
    while(busy.size()) busy.pop();
    for(int i=0; i<N; i++) idle.push(i);
    fill(cnt.begin(), cnt.end(), 0);

    // 处理每个航班
    for(auto& [a, b] : ab) {
        // 释放已离开的廊桥
        while(busy.size() && busy.top().first <= a) {
            idle.push(busy.top().second);
            busy.pop();
        }
        if(idle.empty()) continue; // 无可用廊桥
        
        // 分配编号最小的可用廊桥
        int bridge = idle.top();
        cnt[bridge]++;
        busy.emplace(b, bridge);
        idle.pop();
    }
    
    // 计算前缀和
    vector<int> preSum(N+1);
    for(int i=0; i<N; i++) 
        preSum[i+1] = preSum[i] + cnt[i];
    return preSum;
};

3.3 主算法流程

cpp复制// 输入处理
int N, M1, M2;
cin >> N >> M1 >> M2;
vector<pair<int,int>> ab1(M1), ab2(M2);
for(auto& p : ab1) cin >> p.first >> p.second;
for(auto& p : ab2) cin >> p.first >> p.second;

// 按到达时间排序
sort(ab1.begin(), ab1.end());
sort(ab2.begin(), ab2.end());

// 计算前缀和
auto preSuma = Do(ab1); // 国内
auto preSumb = Do(ab2); // 国际

// 找最优解
int ans = 0;
for(int i=0; i<=N; i++)
    ans = max(ans, preSuma[i] + preSumb[N-i]);
cout << ans;