动态规划解决稳定二进制数组问题

sylph mini

1. 题目背景与核心概念解析

这两道LeetCode连续题目（3129和3130）围绕"稳定二进制数组"这一概念展开，属于典型的动态规划结合组合数学的题型。所谓稳定二进制数组，根据题目描述需要满足以下两个约束条件：

数组仅由0和1构成
数组中任意相邻两个元素不能同时为1（即不存在连续的1）

这类问题在实际应用中对应着多种场景：

通信系统中的信号编码设计（避免码间干扰）
计算机存储的位图排列优化
自动化控制中的状态机设计

2. 基础解法分析（3129题）

2.1 暴力搜索的局限性

最直观的解法是生成所有可能的二进制数组然后筛选符合条件的。对于长度为n的数组，共有2^n种可能，当n=20时已经超过百万种组合，显然无法通过测试用例。

2.2 动态规划状态定义

采用动态规划需要明确定义状态：

dp0[i]：长度为i且以0结尾的稳定数组数量
dp1[i]：长度为i且以1结尾的稳定数组数量

状态转移方程：

code复制dp0[i] = dp0[i-1] + dp1[i-1]  # 前一位可以是0或1
dp1[i] = dp0[i-1]             # 前一位只能是0

2.3 初始条件与计算

初始值：

dp0[1] = 1（单元素[0]）
dp1[1] = 1（单元素[1]）

计算示例（n=3）：

dp0[2] = dp0[1]+dp1[1] = 2（[0,0],[1,0]）
dp1[2] = dp0[1] = 1（[0,1]）
dp0[3] = dp0[2]+dp1[2] = 3
dp1[3] = dp0[2] = 2
最终结果：dp0[3]+dp1[3]=5

3. 进阶问题解析（3130题）

3.1 新增约束条件

在基础题上增加了第三个限制：
3. 数组中恰好有k个1

这使得问题转变为带约束的组合计数问题，需要重新设计状态转移。

3.2 三维状态设计

定义dp[i][j][l]：

i：当前数组长度
j：当前结尾数字（0或1）
l：已使用的1的个数

状态转移方程：

code复制dp[i][0][l] = dp[i-1][0][l] + dp[i-1][1][l]  # 添加0不影响1的计数
dp[i][1][l] = dp[i-1][0][l-1]               # 添加1时需要从l-1转移

3.3 边界条件处理

需要特别注意：

当l=0时，dp[i][1][0] = 0（不能有1）
当i=1时：
- dp[1][0][0] = 1
- dp[1][1][1] = 1
- 其他情况为0

4. 算法优化技巧

4.1 空间压缩

由于当前状态只依赖前一个状态，可将三维数组压缩为二维：

使用两个二维数组prev和current交替计算
空间复杂度从O(n*k)降为O(k)

4.2 模运算处理

题目要求结果对10^9+7取模，需要注意：

每次加法运算后立即取模
避免中间结果溢出
使用long类型存储中间值

5. 完整代码实现

python复制MOD = 10**9 + 7

def numberOfStableArrays(n, k):
    if k == 0:
        return 1 if n >=0 else 0
    if k > (n +1)//2:  # 最大可能1的数量
        return 0
    
    # dp[end_with][count_1]
    dp_prev = [[0]*(k+1) for _ in range(2)]
    dp_prev[0][0] = 1  # 长度为1，以0结尾，0个1
    dp_prev[1][1] = 1  # 长度为1，以1结尾，1个1
    
    for i in range(2, n+1):
        dp_curr = [[0]*(k+1) for _ in range(2)]
        for l in range(k+1):
            # 当前以0结尾
            dp_curr[0][l] = (dp_prev[0][l] + dp_prev[1][l]) % MOD
            # 当前以1结尾
            if l > 0:
                dp_curr[1][l] = dp_prev[0][l-1] % MOD
        dp_prev = dp_curr
    
    return (dp_prev[0][k] + dp_prev[1][k]) % MOD