超级飞侠Fly提到函数极限，我的第一反应不是那堆希腊字母，而是四个字：动态逼近。从“x趋近于某个值，f(x)跟着跑到哪里去”这个直觉出发，极限这一讲其实没那么抽象，真正劝退人的是后面那套ε-δ语言和一堆看起来很像但用法完全不同的算极限技巧。但你要知道，函数极限不是孤立的一章——导数、连续性、定积分、级数收敛，全都建立在“让某个过程无限逼近”这个动作上。地基没打牢，后面盖什么都晃。
这篇内容适合三类人：正在被高数第一学期折磨的大一新生、考研数学一轮复习想系统整理极限工具的考生，以及自学微积分但卡在第一章的入门者。我不打算把教材复述一遍，而是按我实际备课和做题的经验，把“极限是什么、为什么这么定义、怎么算不出错、踩过哪些坑”讲透。只要你能跟着我把一套题完整走下来，后面学导数积分会轻松得多。
1. 函数极限的定义：先建立直觉再抠细节
1.1 极限的直觉：无限逼近，而不是真正到达
先看一个很经典的例子：
$$ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}, \quad x \neq 1 $$
这个函数在 x=1 处没有定义，因为分母是0。但你试着在 x=1 附近取几个点：x=0.9 时 f(x)=1.9，x=1.1 时 f(x)=2.1，x=0.99 时 f(x)=1.99，x=1.01 时 f(x)=2.01。数字越来越靠近2。这就是极限的直觉：我们不关心函数在“那一点”到底有没有值、等于多少，我们只关心它“被逼到那一点附近时”往哪里跑。
很多同学学极限时纠结“那到底等不等于2”，答案是：极限不等于函数值，极限是一个趋势。这个趋势用严谨的数学语言刻画出来，就是下面这套ε-δ定义。先理解这一点，后面遇到可去间断点、连续定义才不会懵。
你可以把极限想象成“你去够一个目标”：不管你给自己定多小的误差范围ε，我都能找到一个对应的活动半径δ，只要你的x活动在这个半径内，f(x)和目标值的差距就能小于ε。关键在于：无论ε给得多苛刻，我都能做到。这才是“无限逼近”的完整含义。
1.2 ε-δ定义：为什么要用这么“绕”的方式
教材上的定义长这样：
设函数 f(x) 在点 x0 的某个去心邻域内有定义。如果存在常数 A，使得对任意给定的正数 ε，都存在正数 δ，当 0 < |x - x0| < δ 时，都有 |f(x) - A| < ε，那么称 f(x) 当 x → x0 时以 A 为极限，记作：
$$ \lim_{x \to x_0} f(x) = A $$
这个定义让初学者的第一个反应通常是：这不是在故意绕吗？明明看图就能看出来，为什么要搞一堆字母？
我的理解是这样：你想证明一个人“能做到某个标准”，不能光靠感觉，得给出一套可检验的流程。ε就是你给对方下的“验收标准”，δ是对方拿出的“保证范围”。比如你说“你离目标点的误差必须在0.01以内”，我立刻找出一个半径0.0001，保证x在这个半径范围内时，函数值和目标的误差一定小于0.01。这才是数学意义上的“无限接近”。
考试中其实很少叫你用ε-δ证明什么复杂的极限，但理解这套语言非常值得。因为你之后学连续、一致连续、函数收敛性，全都会回到“给定ε，找δ”这个思维模式上。现在多花一小时理解定义，后面能省很多时间。
1.3 左极限右极限：函数从哪里来很关键
极限还有一个容易被忽略的细节：x是“从左边”还是“从右边”逼近x0的。这里引入两个记号：
左极限：
$$ \lim_{x \to x_0^-} f(x) $$
右极限：
$$ \lim_{x \to x_0^+} f(x) $$
为什么这个区分重要？因为有些函数在某一侧根本没定义，或者两侧跑的终点不一样。比如分段函数：
$$ f(x) = \begin{cases} x+1, & x < 2 \ x-1, & x \geq 2 \end{cases} $$
当 x → 2 时，从左边靠近，f(x) 趋向3；从右边靠近，f(x) 趋向1。左右极限不同，所以双侧极限不存在。
判断双侧极限是否存在的充要条件就一句话：左右极限都存在且相等。这个条件会贯穿后面“间断点分类”那一节。你在做题时，只要看到分段函数、含绝对值符号、含取整符号的函数，第一反应就应该是“分左右讨论”，而不是直接抄极限。
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2. 算极限的核心工具：从入门到进阶的完整路线
2.1 四则运算法则：所有高级技巧的地基
求极限不是一上来就换等价无穷小或者洛必达，绝大多数题目第一步用的是四则运算法则。两条基本规则：
若 $\lim f(x) = A$，$\lim g(x) = B$ 都存在，则：
$$ \lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B, \quad \lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B $$
若 B ≠ 0，还有：
$$ \lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} $$
这里面有两个关键点。第一，前提是“每个极限都存在”。如果你把一个和式拆成两项，其中一项极限不存在，拆开就没意义了。第二，分母极限不能为0，否则商法则不成立。我见过很多同学直接拆，拆完发现其中一项是无穷大，然后整道题卡死。正确的处理是先合并、先化简，凑出能直接用的形式，再考虑拆分。
举个例子：
$$ \lim_{x \to 0} \frac{x + \sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{\sin x}{x}\right) = 1 + 1 = 2 $$
这里先做了除法拆分，再把已知重要极限 $\frac{\sin x}{x} \to 1$ 代进去。顺序对了，题目就简单了。
2.2 等价无穷小替换：效率最高的技术，但坑也最多
当 x → 0 时，很多函数和 x 的某个幂次是同阶无穷小，我们可以做等量替换。最常用的几个结论：
| 条件：x → 0 | 等价无穷小 |
|---|---|
| $\sin x \sim x$ | $\tan x \sim x$ |
| $\arcsin x \sim x$ | $\arctan x \sim x$ |
| $\ln(1+x) \sim x$ | $e^x - 1 \sim x$ |
| $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ | $(1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$ |
这套替换用好的核心原则只有一条：在乘除因子中可以使用，在加减法中要谨慎，不能无脑替换。为什么？因为等价无穷小的本质是你把函数换成了它的“主要部分”，丢掉的是高阶小量。乘除时，高阶小量相对比值确实可以忽略；但加减时，丢掉的高阶小量可能恰恰是决定结果的那个项。
我举个最典型的翻车例子：
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} $$
有人直接把 $\sin x$ 换成 x，分子变成0，分母是 $x^3$，得到极限0，大错特错。正确答案是 $-\frac{1}{6}$。
问题出在：$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$，分子里 x 那一项被减掉了，留下的是 $-\frac{x^3}{6}$，这才是决定结果的主部。你无脑替换，相当于把主部丢了。
所以我的习惯是：乘法因子，放心换；加减项，能不换就不换，要么用泰勒展开，要么先通分合并，再用替换。初学者千万别在加减里赌“一定没问题”。
2.3 两个重要极限：一个关于交错的弦，一个关于复利
第一个重要极限：
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$
它的几何直觉是：单位圆里，当角度很小时，正弦值、弧长、正切值三者几乎相等。所以很多教材用夹逼定理证明这个极限。这个极限的真正用途是处理含三角函数的0/0型。使用时注意凑结构：分子必须是sin(某坨)，分母必须是同“某坨”。
第二个重要极限：
$$ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e $$
它的另一个常用版本是：
$$ \lim_{u \to 0} (1 + u)^{\frac{1}{u}} = e $$
这个极限的背景就是复利模型：本金翻倍过程中，按连续计息，最终增长率收敛到 e。它专门处理1^∞型的未定式。判断标准：底数趋近于1，指数趋近于无穷大。
比如：
$$ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3x} = e^6 $$
凑法很简单：先把 $\left(1 + \frac{2}{x}\right)$ 的指数改写为 $\frac{x}{2} \cdot \frac{6}{x}$，里面凑成 $(1 + \frac{1}{x/2})^{x/2}$ 的形式，所以结果为 $e^6$。
2.4 洛必达法则：好用，但请先看条件
洛必达法则是很多人的“万能钥匙”：遇到0/0或者∞/∞，分子分母同时求导，极限不变。形式上确实简单，但使用条件有三个：
第一，必须是0/0型或∞/∞型，其他型要先变形。第二，分子分母在去心邻域内可导，且分母导数不为0。第三，求导后的比的极限存在（或趋于无穷大）。
第三个条件特别容易被忽略。如果求导后的极限不存在，洛必达法则失效，但原极限可能存在。比如：
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x} $$
这是∞/∞型，分子求导得到 $1 + \cos x$，分母求导得到1，而 $1 + \cos x$ 在无穷远处极限不存在。但原极限呢？你可以直接化简：
$$ \frac{x + \sin x}{x} = 1 + \frac{\sin x}{x} \to 1 $$
这说明洛必达不是万能的。我的习惯是：能先化简就化简，能等价替换就替换，把这些工作做完，如果还是0/0或∞/∞，再用洛必达。洛必达是最后一道工序，不是第一道。
2.5 泰勒展开：统一江湖的终极工具
如果只让我推荐一个求极限的兜底工具，我选泰勒展开。原因很简单：几乎所有求极限题目，本质上都是在比较无穷小（或无穷大）的“阶”。而泰勒展开把函数展开成多项式，阶数一目了然。
常用的展开，至少背到三阶：
$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3) $$
$$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3) $$
$$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4) $$
$$ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3) $$
$$ (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + o(x^2) $$
展开阶数的判断原则：分母是 $x^k$ 阶，分子就展开到 $k$ 阶，让分子的最低次项和分母对齐。比如：
$$ \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x - \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right)}{x^3} = \frac{1}{6} $$
一看就明白：分子最低阶是 $x^3$，系数是 $\frac{1}{6}$，答案就是 $\frac{1}{6}$。
可能有人觉得泰勒展开难背，但它其实和导数表挂钩。学完导数再回头背这些展开，相当于把求导结果倒过来写，记忆成本比想象中低得多。
2.6 夹逼准则与单调有界准则：证明题的两大法宝
求值之外，极限这块还有两类证明题，主要用两个准则。
夹逼准则：如果存在某个去心邻域内 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$，且 $\lim g(x) = \lim h(x) = A$，则 $\lim f(x) = A$。直观理解就是：把要观察的对象夹在两片面包之间，两片面包都塌向同一个点，中间的馅也被压向同一个点。
夹逼在“带自然数n的数列极限”里很好用。比如求：
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin n!}{n} $$
因为 $-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin n!}{n} \leq \frac{1}{n}$，两边极限都是0，所以答案是0。
单调有界准则：单调递增且有上界（或单调递减且有下界）的数列必有极限。这个准则主要用来证明数列极限存在，尤其是递推数列。证明存在后，设极限为A，再对递推式两边同时取极限，解出A。
比如递推 $x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}$，先证明单调有界，再设极限为A，可得 $A = \sqrt{2 + A}$，解得 A = 2。
3. 典型题型实操拆解
3.1 0/0型极限：三步走
0/0型是出现频率最高的未定式。我的处理流程是：
第一步，先消零因子。能用因式分解、根式有理化就先把“同归于尽”的因子消掉。比如：
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} $$
分子有根号，直接代入会得到0/0。这时候根式有理化，分子分母同时乘 $\sqrt{1+x} + 1$：
$$ \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{1}{2} $$
第二步，如果消不掉，就用等价无穷小替换乘除因子。这里注意，替换完如果仍然是0/0，可以考虑继续替换或改用泰勒。
第三步，以上都做完还卡住，再上洛必达。而且用完一次洛必达，重新判断类型，是继续还是转回前面两步。
这里不得不提一个经典题：
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} $$
直接把 $\tan x \sim x$、$\sin x \sim x$ 替换进去，分子变成0，答案是0？错。因为这是减法，两项主部都是 x，相消了，不能用等价替换。
正确做法先提取公因式：
$$ \tan x - \sin x = \tan x(1 - \cos x) \sim x \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2} $$
所以原极限是 $\frac{1}{2}$。你看，先化简成乘法因子，等价替换才有用。
3.2 ∞/∞型极限：抓大头
处理x趋向无穷大的极限，核心思路是“抓大头”。分子分母都是多项式时，看最高次幂的系数之比：
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2 - 5x} = 2 $$
理由是当 x 很大时，$x^2$ 项远大于 $x$ 项和常数项，低阶项相对高阶项来说可以忽略。对于更复杂的结构，要记住这个大小关系：
$$ e^x \gg x^a \gg \ln x \quad (x \to +\infty) $$
指数函数增长最快，幂函数次之，对数最慢。
但遇到“指数型+多项式”混合时，直接抓大头注意别抓错。比如：
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x}{e^x - x} = 1 $$
此时 $e^x$ 和 $e^x$ 是绝对大头，x项可忽略。
如果分子分母都是根式，那就上下同除以最高次幂，这是“抓大头”的代数版本。比如：
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} $$
上下除以 x，注意 $\sqrt{x^2+1}$ 除以 x 等于 $\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}$，最终极限是1。
3.3 1^∞型极限：凑e，但别只盯着e
1^∞型是另一个高频题型。它的核心变换公式是：
若 $u(x) \to 1$，$v(x) \to \infty$，则
$$ \lim u(x)^{v(x)} = e^{\lim v(x)[u(x) - 1]} $$
这个公式怎么来的？取对数：
$$ u^v = e^{v \ln u} $$
因为 $u \to 1$ 时，$\ln u \sim u - 1$，所以指数部分变成 $v(u - 1)$。注意，这里又一次用到了等价无穷小替换，但这次是在指数上，很安全。
举个例子：
$$ \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x+2}\right)^{x} $$
这里底数 $\frac{x+1}{x+2} \to 1$，先凑：
$$ \frac{x+1}{x+2} - 1 = \frac{-1}{x+2} $$
所以原极限为：
$$ e^{\lim x \cdot \frac{-1}{x+2}} = e^{-1} $$
这个方法的优势是：不管你底数长得像什么，只要它趋近1，直接统一用 $\lim v(u-1)$ 这个指数公式，比反复凑 $(1 + \frac{1}{n})^n$ 的形式更通用。
3.4 分段函数与含绝对值函数：老老实实分左右
分段函数在分界点处讨论极限，是最容易丢分的地方。原则只有一条：分左右，看两边是否相等。
举例：
$$ f(x) = \frac{|x|}{x}, \quad x \to 0 $$
当 x → 0+ 时，|x| = x，所以 $f(x) = 1$，右极限是1。当 x → 0- 时，|x| = -x，所以 $f(x) = -1$，左极限是 -1。左右极限不相等，所以极限不存在。
还有一种题型是“已知极限存在，反求参数”。比如：
$$ f(x) = \begin{cases} \frac{\sin 3x}{x}, & x < 0 \ a + x, & x \geq 0 \end{cases} $$
要让 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 存在，左右极限必须相等。右极限是a，左极限是3，所以 a = 3。这类题在考试中出现频率很高，方法就是列出“左右极限相等”这个方程。
3.5 无穷大与无界：极限不存在也分情况
很多人把“极限为无穷大”和“极限不存在”混为一谈。严格说，“极限趋于无穷大”是一种特殊的不存在——它不存在有限的极限，但函数值无限增大或减小。在答题时，如果题目问“极限是否存在”，你要区分这些表述：
如果函数在某点向正无穷或负无穷发散，通常写“极限不存在（趋于无穷大）”。如果函数像 $\sin \frac{1}{x}$ 在 x→0 时那样在 -1 和 1 之间反复震荡，它不存在极限，也不趋于无穷大，属于“震荡不存在”。
遇到“无穷大与无界”的题，还有个常见考点：已知 $\lim x^a f(x)$ 等于某个有限数，判断 f(x) 的阶，或者反过来求参数。核心还是回到无穷小比较：把 $x^a$ 看成衡量函数“速度”的标尺，指数a越大，说明f(x)在0附近“爆炸”得越厉害。
3.6 数列极限：海涅定理与两类经典递推
数列极限和函数极限不是两套孤立的东西。海涅定理（归结原理）告诉我们：$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 当且仅当对任意满足 $x_n \to x_0$ 的数列，都有 $f(x_n) \to A$。
这个定理在求极限时最实用的变体是：把数列极限转成函数极限。比如：
$$ \lim_{n \to \infty} n \sin \frac{1}{n} $$
令 $t = \frac{1}{n}$，则 t → 0，原式变成：
$$ \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 $$
数列极限的另一类经典题是递推数列。解题套路非常固定：先用单调有界准则证明极限存在，再对递推式两边取极限，解方程求值。我建议把这个套路刻进脑子里，因为很多同学卡在“不知道先证明存在”这一步，直接对递推式取极限，但极限不存在时取极限是无意义的。
4. 常见错误与排查方法
4.1 错误一：把“代入”当成万能
很多同学一看到求极限，就本能地把 x0 代进去。这在初等函数连续点上是没问题的，但一旦遇到0/0、∞/∞这些未定式，直接代入得到的是无意义的结果。看到 $\frac{0}{0}$ 不要慌，这不是答案，而是“需要进一步处理”的信号。
我的建议是：拿到题目先做“定型”判断。这个极限是0/0型、∞/∞型、1^∞型、0·∞型、∞-∞型，还是可以直接代入的非未定式？先定类型，再选工具。
4.2 错误二：等价无穷小在加减中乱用
前面已经反复强调过，这里再给一个判断标准：如果两个等价替换之后的项在加减中不为0，那替换大概率安全；如果替换后加减结果为0，说明你丢掉了主部，必须改用泰勒展开或通分合并。
但我对初学者的建议更保守：加减中的等价替换，要么不碰，要么先用泰勒展开验证一遍。等你对“阶”有了足够的敏感度，再在某些场景下放心使用。
4.3 错误三：洛必达法则当饭吃
洛必达很好用，但它会让你变懒。一道题本来用等价替换三步就做完，你非要洛必达，求导求三行，容易出错，还容易碰到“求导后极限不存在”的陷阱。我的习惯是：洛必达前先看能不能化简，能不能提取公因式，能不能等价替换。把这些前置工作做完，剩下真正需要洛必达的题目会少很多。
而且注意：每次使用洛必达之前，都要重新检查是否仍为0/0或∞/∞。如果变成 $\frac{1}{0}$ 或其他形态，直接停止，重新规划思路。
4.4 错误四：极限符号随便丢
这是改写不规范的常见丢分点。很多同学写：
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{x}{x} = 1 $$
这行中间的 $\frac{x}{x}$ 前面没有极限符号，严格说是不对的。因为 $\frac{\sin x}{x}$ 本身不等于 $\frac{x}{x}$，只有在取极限的意义下，$\sin x$ 和 x 的比值极限相同。错误写法会让人误以为 $\sin x = x$，这正是培养错误直觉的根源。
正确写法应该是：
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1 $$
或者用等价无穷小符号：
$$ \frac{\sin x}{x} \sim \frac{x}{x} \to 1 $$
养成规范书写的好习惯，不仅是为了得分，更是为了不让脑子里的概念变浑浊。
4.5 错误五：把“极限存在”和“函数值存在”混为一谈
$\lim_{x \to x_0} f(x)$ 和 $f(x_0)$ 是两回事。极限关注的是x0附近的趋势，函数值关注的是x0这一点本身。函数在某点无定义，完全不影响它在该点的极限存在。比如 $\frac{\sin x}{x}$ 在0处无定义，但极限是1。
这个区分到后面学“连续”时会非常关键：连续的定义就是“极限值等于函数值”。所以你现在把这两个概念分清，后面自然就顺了。
4.6 一份极限判型速查表
| 直接代入的结果 | 类型 | 推荐处理路径 |
|---|---|---|
| $\frac{0}{0}$ | 0/0型 | 消零因子、等价替换、泰勒、洛必达 |
| $\frac{\infty}{\infty}$ | ∞/∞型 | 抓大头、洛必达 |
| $1^\infty$ | 1^∞型 | $e^{v(u-1)}$ |
| $0 \cdot \infty$ | 0·∞型 | 变形为0/0或∞/∞ |
| $\infty - \infty$ | ∞-∞型 | 通分、有理化、提公因式 |
| 常数 | 非未定式 | 直接得答案 |
这张表是做题时的“红绿灯”。遇到极限题，先过一遍表，思路立刻清晰。
5. 几个常用的小技巧与复习建议
5.1 记忆等价无穷小和使用范围的口诀
等价无穷小谁都会背，关键是记牢适用场景。我给自己总结了一个口诀：乘除随便换，加减看主部；主部不为零，等价才靠谱。如果你在加减里替换后变成0，就说明主部被吞了，必须换路子。
泰勒展开的记忆也有一条捷径：所有展开都以 $e^x$ 为源头。$\sin x$ 是 $e^x$ 的展开式中奇数项的交替符号版，$\cos x$ 是偶数项版，$\ln(1+x)$ 是把 $e^x$ 展开式每项除以一个系数。这样把五个公式联动记忆，比孤立死记硬背省力得多。
5.2 用极限求参数：逆向思维很有用
求参数题型是极限的一个重要分支，常见的考法是：已知极限存在或等于某数，反求参数。
比如：
$$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + ax + b}{x - 2} = 3 $$
求 a, b。这道题的突破口是：分母趋于0，极限却存在且为有限数，说明分子也必须趋于0。否则结果会是无穷大。于是令分子代入x=2等于0：
$$ 4 + 2a + b = 0 $$
然后可以对分子因式分解，设分子为 $(x-2)(x + m)$ 的形式，代回极限：
$$ \lim_{x \to 2} (x + m) = 3 $$
所以 $2 + m = 3$，$m = 1$。那么分子为 $(x-2)(x+1) = x^2 - x - 2$，对应 $a = -1$，$b = -2$。
这类题的精髓是：看到分母趋向0，先判断分子是否也必须趋向0，再用因式分解消掉零因子。掌握了这个思路，很多“带参数极限”的题都是同一套路。
5.3 复习节奏：三遍法
第一遍，跟着教材把定义和四则运算吃透，做基础计算题，目标是所有0/0、∞/∞能不看答案做出来。第二遍，集中做带参数的题、分段函数分左右讨论的题、数列极限证明题，培养“分情况讨论”的严谨思维。第三遍，上难度和速度，掐时间做真题套卷里的极限题，确保计算速度和准确率。
算极限是一项“手感”技能，三天不练就生疏。我建议哪怕学到后面章节，每天也保持做3道极限题，保持手感。极限计算不扎实的话，后面导数、积分、微分方程全都会受影响，这个地基必须打稳。
我个人在实际辅导中的体会是：很多同学不是不会算极限，而是被一堆技巧唬住了，每道题都想找一个“神奇方法”。其实高手和新手的差别，只在于能不能准确判断题目类型，然后按部就班地执行流程。你先试着把今天说的判型表贴在手边，遇到极限题就按表走一遍，坚持两周，准确率会有明显提升。
最后再分享一个小技巧：当某一题所有常规方法都试过但不确定答案时，用泰勒展开兜底。泰勒不依赖洛必达的条件判断，也不怕加减中的主部消失，只要展开阶数够，就能把题目变成纯粹的多项式比较。把这个兜底工具练熟，你会发现自己面对极限题时，心里踏实很多。