LeetCode 3567题解：二维数组前缀和与快速选择算法优化

1. 问题背景与理解

今天咱们来啃一道LeetCode上的二维数组处理题——第3567题"子矩阵的最小绝对差"。这道题在周赛中出现时让不少选手栽了跟头，主要考察我们对二维数组的预处理和滑动窗口技巧的综合运用能力。

先明确题目要求：给定一个m x n的整数矩阵matrix和一个整数k，我们需要找到所有k x k子矩阵中元素和的最小绝对差。这里的绝对差指的是该子矩阵元素和与所有k x k子矩阵元素和中位数的差的绝对值。

举个例子，假设有个3x3矩阵：

code复制[1, 2, 3]
[4, 5, 6]
[7, 8, 9]

当k=2时，可能的2x2子矩阵有：

• 左上角子矩阵和：1+2+4+5=12
• 右上角子矩阵和：2+3+5+6=16
• 左下角子矩阵和：4+5+7+8=24
• 右下角子矩阵和：5+6+8+9=28

这些和的中位数是(16+24)/2=20（偶数个取中间两个的平均），那么最小绝对差就是min(|12-20|, |16-20|, |24-20|, |28-20|)=4。

2. 暴力解法与复杂度分析

2.1 直观暴力解法

最直接的思路就是枚举所有可能的k x k子矩阵，计算每个子矩阵的和，然后找出中位数，最后计算最小绝对差。具体步骤：

1. 遍历所有可能的子矩阵左上角位置(i,j)，其中0≤i≤m-k, 0≤j≤n-k
2. 对于每个(i,j)，计算子矩阵的和
3. 将所有和存入数组，排序后找到中位数
4. 遍历所有和，计算与中位数的绝对差，取最小值

Python实现代码框架：

python复制def minAbsoluteDifference(matrix, k):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    sums = []
    
    for i in range(m - k + 1):
        for j in range(n - k + 1):
            # 计算子矩阵和
            sub_sum = 0
            for x in range(i, i + k):
                for y in range(j, j + k):
                    sub_sum += matrix[x][y]
            sums.append(sub_sum)
    
    sums.sort()
    median = sums[len(sums)//2] if len(sums)%2 == 1 else (sums[len(sums)//2-1] + sums[len(sums)//2])/2
    
    min_diff = float('inf')
    for s in sums