Mathematica在供应链Stackelberg博弈建模中的应用

1. 供应链模型背景与问题定义

在传统供应链管理中，单一供应商与多个零售商之间的供需关系建模是一个经典问题。这种结构常见于区域分销系统，比如某个食品加工厂（供应商）向两家连锁超市（零售商）供货的场景。我们需要解决的是一系列优化问题：供应商如何定价？零售商如何决定订货量？整个系统如何达到均衡状态？

这类模型通常需要考虑以下核心变量：

• 供应商的批发价格（w）
• 零售商的销售价格（p₁, p₂）
• 市场需求函数（通常假设为线性：D = a - bp）
• 各方的利润函数（供应商利润、零售商利润、供应链总利润）

关键点：在非合作博弈框架下，供应商和零售商各自追求利润最大化，这会形成Stackelberg博弈（领导者-追随者模型），供应商作为领导者先决策批发价，零售商随后决定订购量。

2. Mathematica建模准备工作

2.1 环境配置与基本函数

Mathematica特别适合这种符号计算与数值分析结合的供应链优化问题。首先确保已安装最新版本（本文使用Wolfram Mathematica 13.3），然后熟悉几个关键函数：

mathematica复制(* 定义符号变量 *)
ClearAll[w, p1, p2, q1, q2];
(* 利润函数定义 *)
profitSupplier = (w - c)(q1 + q2); 
profitRetailer1 = (p1 - w) q1;
profitRetailer2 = (p2 - w) q2;

2.2 模型假设与参数设置

典型的假设条件需要明确定义：

• 线性需求函数：q1 = a - b p1 + d p2（d表示零售商间的交叉价格弹性）
• 对称零售商：假设两家零售商成本结构相同
• 供应商单位生产成本设为c=5（示例值）
• 需求参数a=100, b=2, d=0.5（表示适度竞争）

mathematica复制parameters = {a -> 100, b -> 2, d -> 0.5, c -> 5};

3. 博弈论模型构建与求解

3.1 零售商层面的反应函数

在Stackelberg博弈的第二阶段，两家零售商在给定批发价w的情况下，通过价格竞争实现纳什均衡。我们需要分别对p1和p2求导：

code复制