二进制得分算法：汉明重量与递归分治实践

1. 二进制得分算法解析

这个算法问题涉及到一个有趣的二进制数处理过程。给定一个整数x，我们需要计算它的"二进制得分"。得分计算规则如下：

1. 如果x ≤ 1，得分为x本身
2. 否则，计算x的二进制表示中1的个数（即汉明重量）
3. 如果1的个数是奇数：
   • 找到中间那个1的位置（从右往左数）
   • 将数分成三部分：中间1左侧的部分、中间1本身、中间1右侧的部分
   • 得分为x + 这三部分的得分之和
4. 如果1的个数是偶数：
   • 找到中间两个1的位置
   • 将数分成三部分：左侧部分、中间部分（两个1之间的部分）、右侧部分
   • 得分为x + 这三部分的得分之和

2. 核心算法实现

2.1 计算汉明重量

cpp复制int result1(int x) {
    int sum = 0;
    while (x) {
        x &= (x - 1);  // 清除最低位的1
        sum++;
    }
    return sum;
}

这个函数使用了一个经典技巧：x &= (x - 1)会清除x的最低位的1。每次执行这个操作，我们就计数一次，直到x变为0。

2.2 深度优先搜索实现

cpp复制int dfs(int x) {
    if (x <= 1) {
        return x;
    }
    int sum = result1(x);
    if (sum & 1) {  // 奇数个1的情况
        // ...处理奇数情况...
    } else {  // 偶数个1的情况
        // ...处理偶数情况...
    }
}

3. 奇数个1的处理

当二进制表示中有奇数个1时，我们需要找到中间那个1的位置：

cpp复制string a = bitset<32>(x).to_string();
int mid = max(sum / 2 + 1, 1LL);
int p = 0, pos = 0;
for (int i = 0; i < 32 && mid > p; i++) {
    if (x >> i & 1) {
        p++;
        po