GESP一级编程题解析：文具组合购买算法

1. 题目背景与需求分析

这道编程题源自GESP一级认证考试，题目描述为：小明需要购买文具，已知文具店里有三种文具，分别是铅笔、橡皮和笔记本。铅笔每支2元，橡皮每个1元，笔记本每本5元。现在给定小明拥有的钱数n（n≥1），要求计算出小明用这些钱恰好能买多少种不同的文具组合（每种文具可以买0个或多个）。

1.1 问题建模

这是一个典型的组合数学问题，可以抽象为：
给定三个正整数a=2，b=1，c=5，求非负整数解(x,y,z)的个数，使得2x + y + 5z = n成立。

这类问题在计算机科学中被称为线性丢番图方程，是算法竞赛和编程考试中的常见题型。解题关键在于如何高效枚举所有可能的组合情况。

2. 解题思路与算法设计

2.1 暴力枚举法

最直观的解法是三重循环枚举所有可能的购买组合：

python复制n = int(input())
count = 0
for x in range(n//2 + 1):  # 铅笔最多买n//2支
    for y in range(n + 1):  # 橡皮最多买n个
        for z in range(n//5 + 1):  # 笔记本最多买n//5本
            if 2*x + y + 5*z == n:
                count += 1
print(count)

时间复杂度分析：

• 最外层循环次数：O(n/2)
• 中层循环次数：O(n)
• 内层循环次数：O(n/5)
• 总复杂度：O(n³)

虽然对于n≤100的小规模数据足够，但当n较大时效率会显著下降。

2.2 优化解法：双重循环

观察到当确定x和z后，y的值可以直接计算得出：

python复制n = int(input())
count = 0
for x in range(n//2 + 1):
    for z in range(n//5 + 1):
        remaining = n - 2*x - 5*z
        if remaining >= 0:
            count += 1
print(count)

优化效果：

• 减少一层循环
• 时间复杂度降为O