动态规划入门：爬楼梯问题解法全解析

1. 爬楼梯问题解析

爬楼梯问题是一个经典的动态规划入门题目，题目描述很简单：假设你正在爬楼梯，每次你可以爬1个台阶或2个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到第n个台阶。

这个问题看似简单，但蕴含着重要的算法思想。我第一次遇到这个问题时，直觉是用递归解决，但后来发现递归存在严重的性能问题。通过深入分析，我找到了更优的动态规划解法。

1.1 问题建模

首先我们需要明确问题的数学模型。设f(n)为爬到第n个台阶的方法数，那么：

• 当n=1时，只有1种方法（爬1步）
• 当n=2时，有2种方法（1+1或直接2步）
• 对于n>2的情况，最后一步要么是从n-1台阶爬1步上来，要么是从n-2台阶爬2步上来

因此可以得到递推关系：
f(n) = f(n-1) + f(n-2)

这实际上就是斐波那契数列的定义。理解这个递推关系是解决问题的关键。

2. 解法分析与优化

2.1 递归解法

最直观的解法是递归：

python复制def climbStairs(n):
    if n == 1: return 1
    if n == 2: return 2
    return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2)

但这种解法存在严重问题：

1. 时间复杂度是O(2^n)，因为每次调用会产生两个子调用
2. 存在大量重复计算，比如计算f(5)需要计算f(4)和f(3)，而f(4)又要计算f(3)和f(2)

提示：在实际面试中，如果直接给出这种解法而不指出问题，可能会被扣分。

2.2 记忆化递归

为了解决重复计算问题，可以引入记忆化技术：

python复制def climbStairs(n, memo={}):
    if n in memo: return memo[n]
    if n == 1: return 1
    if n == 2: return 2
    memo[n] = climbStairs(n-1, memo) + climbStairs(n-2, memo)
    return memo[n]

这样时间复杂度降为O(n)，空间复杂度也是O(n)。这是一个明显的改进，但仍然使用了递归调用栈。

2.3 动态规划解