图论最短路径应用：CSP-J2019江西赛区题解

1. 题目理解与解题思路

这道题目来自CSP-J 2019江西赛区，考察的是图论中最短路径的应用。题目描述了一个由n座城市和m条双向道路组成的交通网络，每条道路通行时间均为1单位时间。我们需要在保证从首都(1号城市)到s1城市的最短时间不超过t1，同时到s2城市的最短时间不超过t2的前提下，尽可能多地拆除道路。

1.1 核心问题分析

这道题的关键在于理解"独立条件"的含义。题目要求的是：

1. 从1到s1的最短路径≤t1
2. 从1到s2的最短路径≤t2

这两个条件需要同时满足，但不需要路径之间有交集。也就是说，我们可以找到两条完全独立的路径分别满足这两个条件。

1.2 解题思路

我的解题思路分为以下几个步骤：

1. 使用Dijkstra算法计算从首都1出发到所有城市的最短距离dis1
2. 计算从s1出发到所有城市的最短距离diss1
3. 计算从s2出发到所有城市的最短距离diss2
4. 遍历所有城市i，检查dis1[i] + diss1[i] ≤ t1且dis1[i] + diss2[i] ≤ t2
5. 对于满足条件的i，计算保留的道路数=dis1[i]+diss1[i]+diss2[i]
6. 最大可拆除道路数=m-保留的道路数

注意：这里的关键是理解dis1[i]+diss1[i]表示从1→i→s1的路径长度，同理dis1[i]+diss2[i]表示从1→i→s2的路径长度。我们寻找的是这样一个中间点i，使得两条路径都满足时间限制。

2. 算法实现详解

2.1 数据结构选择

我选择使用邻接表来存储图结构，这是处理稀疏图(边数远小于完全图)的高效方式。具体实现如下：

cpp复制constexpr int N=3e3+1; // 最大城市数+1
vector<int> e[N];     // 邻接表存储图

对于3000个节点的图来说，邻接表既能节省空间，又能高效地进行遍历。

2.2 Dijkstra算法实现

Dijkstra算法是解决单源最短路径问题的经典算法，这里我使用了优先队列优化的版本：

cpp复制vector<int> dijkstra(int s){
    vector<int> dis(n+1,0x3f3f3f3f); // 初始化距离为无穷大