LeetCode旋转数字问题解析与动态规划解法

1. 问题背景与定义

旋转数字问题最初出现在LeetCode第788号题目中，属于字符串处理与数学结合的经典面试题型。题目要求我们统计在1到N的范围内，有多少个数是"好数"（good number）。这里的"好数"定义非常特殊：当这个数的每一位数字旋转180度后，得到的数字与原来不同且仍然是一个有效的数字。

数字旋转规则如下：

• 0,1,8旋转后仍然是自身
• 2旋转后变成5
• 5旋转后变成2
• 6旋转后变成9
• 9旋转后变成6
• 3,4,7旋转后无法形成有效数字

举个例子：

• 数字"2"旋转后变成"5"，属于好数
• 数字"12"旋转后变成"15"，也属于好数
• 数字"10"旋转后仍然是"10"，不属于好数（因为旋转前后相同）
• 数字"34"旋转后无效（因为包含3），不属于好数

2. 解题思路分析

2.1 暴力解法可行性评估

最直观的解法是遍历1到N的每个数字，检查其是否满足好数条件。对于每个数字：

1. 将其转换为字符串
2. 检查每个字符是否属于可旋转数字（0,1,2,5,6,8,9）
3. 如果全部字符都可旋转，则进行旋转操作
4. 比较旋转前后的数字是否不同

这种方法的时间复杂度是O(N*L)，其中L是数字的平均位数。当N较大时（比如N=1e5），这种解法在面试中可能不够高效。

2.2 数学性质观察

通过观察可以发现，好数必须满足两个条件：

1. 不包含任何无效数字（3,4,7）
2. 至少包含一个可变化数字（2,5,6,9）

这提示我们可以将问题分解为：

• 首先排除包含3,4,7的数字
• 然后在剩余数字中找出至少包含一个2,5,6,9的数字

2.3 动态规划思路

这个问题可以建模为数字的排列组合问题，适合用动态规划解决。我们可以定义：

• dp[i][eq][hasGood] 表示处理到第i位时的状态
  • eq表示当前数字是否等于N的前i位
  • hasGood表示是否已经包含可变化数字

通过状态转移，我们可以高效计算出好数的数量，而不需要逐个检查。

3. 具体实现方案

3.1 暴力解法实现

虽然暴力解法不是最优解，但作为基础实现，可以帮助理解问题：

python复制def rotatedDigits(N):
    count = 0