前缀和与差分算法详解：从一维区间求和到二维差分矩阵

先问大家一个问题：你第一次看到“前缀和”“子矩阵的和”“差分”“差分矩阵”这四个词时，有没有觉得是把简单事情说复杂了？我第一次学前缀和的时候，确实有过这种想法——心想不就是把数组从头到尾加一遍吗，也算一个知识点？后来在笔试、刷题和给学弟讲题的过程里被反复教育，才发现自己当初太天真。前缀和、子矩阵求和、差分、差分矩阵这四个概念，本质上是解决同一类问题的两套思想，分别适用于“一维”和“二维”场景。

这篇文章我想把你一次性带明白：一维前缀和怎么从区间求和里长出来，二维前缀和（也就是子矩阵的和）怎么靠一个“容斥”公式实现秒查，一维差分怎么用两次修改替代整段循环，二维差分怎么靠四个标记点完成矩阵区域的批量加数。我会尽量用生活化的类比和完整的推导过程来讲，代码也直接给能跑的版本，所以你拿来写作业、准备算法比赛、面试突击都能用。如果你是刚接触算法的读者，建议把每个例子的中间结果都手算一遍，这一步省不了。

1. 先搞清楚这四个名词到底是什么关系

1.1 前缀和和差分是一对“逆运算”

先看一张最简单的图景：有一个数组 a[1] 到 a[n]，我们想知道中间某一段的总和，最朴素的想法是循环累加，但这样每次查询都要跑一遍区间，数据大了就非常吃亏。前缀和的做法是先预处理出一个新数组 pre，pre[i] 表示“从第 1 个位置累加到第 i 个位置的和”，之后想求任意区间 [l, r] 的和，直接 pre[r] - pre[l-1] 就能得到。

差分的意思刚好反过来了。如果有一个差分数组 diff，对 diff 做一次“前缀和操作”，得到的数组就是原数组 a。也就是说：对原数组 a 求前缀和得到数组 pre，那么 pre 的差分又是 a。前缀和与差分互为逆运算。这个关系在一维和二维情况下都成立，是整个知识体系的地基。

我教过的很多读者会问：既然它们互为逆运算，学一个不就行了吗？当然不行。因为前缀和擅长做“区间查询”，而差分擅长做“批量修改”。你手里是查询需求多还是修改需求多，决定了用哪种工具。这个权衡在后面章节会讲清楚。

1.2 从一维到二维，难度在哪里

把前缀和从一维推广到二维，会出现“子矩阵的和”这个概念。把差分从一维推广到二维，就得到了“差分矩阵”。二维和二维之间看似只是多了一个维度，但公式里的加加减减变复杂了，尤其是容斥那一步，特别容易漏项或者写反。

原因很简单：一维区间是一条线，删掉左边多余部分就好；二维矩形是很多行很多列拼起来的面积，你不能只去掉一行，要去掉上面部分、左面部分，还要把左上角被重复去掉的部分加回来。这就是“容斥原理”在算法里的经典应用。后文的第 4 节、第 5 节会把每个算子为什么是这样完整拆开。

2. 一维前缀和：区间求和的高效记账本

2.1 前缀和到底是怎么提出来的

想象一个非常朴素的场景。你记录了本学期每一天的学习时长，现在想知道从第 10 天到第 30 天一共学了多久。没有前缀和的时候，你会把第 10 天、第 11 天……一直加到第 30 天，每次询问都要重新加一遍。如果今天问一次、明天又问一次，这些重复劳动就非常浪费。

前缀和的思路是：既然“从头加到某一天”这个操作经常被用到，那我干脆提前把每天对应的累计值记下来。比如第 10 天的累计学习时长、第 30 天的累计学习时长，都先算好存好。等有人问“第 10 天到第 30 天一共多久”，我只需要用“前 30 天的累计时长”减去“前 9 天的累计时长”，一步就得出结果，不用重新循环。

这就是前缀和的核心逻辑：把频繁使用的“区间求和”操作，从每次 O(n) 的时间复杂度，降低到预处理一次 O(n)、之后每次查询 O(1)。如果你要处理一批静态数据上的大量区间查询，这个性价比非常高。

2.2 公式推导和核心代码

如果数组下标从 1 开始，前缀和数组 pre 的定义是：

pre[i] = pre[i - 1] + a[i]

对应的区间求和公式是：

sum(l, r) = pre[r] - pre[l - 1]

这里最容易被新手问住的是：为什么区间左端是 l 的时候，要减 pre[l-1] 而不是 pre[l]？因为 pre[r] 表示从第 1 个元素累加到第 r 个元素，pre[l] 表示从第 1 个元素累加到第 l 个元素。如果我们想留下第 l 到第 r 个元素的和，应该把前 l-1 个元素全部减掉，也就是减去 pre[l-1]。多减了一个 pre[l] 就会把区间左侧那个不要的元素不小心丢掉。

我建议所有读者第一次实现时都用下标从 1 开始的方式。很多新手从 0 开始写，结果区间边界总是对不上，debug 半天也找不到问题，就是因为 pre[l-1] 在 l 等于 0 的时候会访问 pre[-1]。下标从 1 开始让所有边界都变得非常自然。

完整代码示例我写了一个 C++ 版本：

cpp复制#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n, q;
    cin >> n >> q;

    vector<int> a(n + 1, 0);
    vector<long long> pre(n + 1, 0);

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i];
        pre[i] = pre[i - 1] + a[i];
    }

    while (q--) {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << pre[r] - pre[l - 1] << '\n';
    }
    return 0;
}

我用 long long 来存前缀和是因为累加结果很容易超过 int 范围，尤其数组长度和数值都很大时。虽然这个例子里数据未必会爆，但竞赛中养成用 long long 的习惯能少踩很多坑。

2.3 一个真实场景的感受

我曾经给一个做打卡