云海天狼做过调度、运筹或计划类项目的人应该都有同感：真正让模型从论文走向生产环境的拦路虎，通常不是求解器不够快，而是你敢不敢在模型里承认“未来参数不可预知”。很多初版模型用确定性参数跑得飞快，一旦放进实际业务，需求波动、价格漂移、设备可用率变化，任何一个扰动都可能让方案失真。这也是我在实际项目里转向两阶段鲁棒优化模型的原因——它不追求预测得准，而是在最坏情况下仍然守住可行性和经济性底线。这篇文章我会从自己搭建的四个典型业务场景出发，把两阶段鲁棒优化建模、列与约束生成算法、以及整个数据处理机制的来龙去脉完整拆一遍，重点讲清楚每个环节为什么这样做、C&CG算法迭代过程中哪些细节容易翻车，以及数据侧如何为不确定集服务。
这四类场景不是什么空中楼阁，全部来自我落地过的实际问题：需求波动下的生产库存计划、可再生能源出力的日前调度、资源市场价格不确定的采购决策、设备可用率随机变化下的维护排程。它们都能抽象成同一类两阶段鲁棒决策问题：第一阶段做带资源约束的“现在决策”，第二阶段等不确定参数暴露后再做“补偿决策”，决策目标是让最坏情形下的总成本最小。四个场景共用一个建模框架，这样代码和数据处理机制可以复用，调起参数来也方便。读完这篇文章，你能收获一套可以直接套用的min-max-min模型结构、C&CG算法的手写迭代逻辑、以及从历史数据到不确定集参数标定的完整链路。
1. 整体设计思路：为什么两阶段鲁棒优化在这四个场景里都能成立
1.1 从确定性模型到两阶段鲁棒优化模型的演进逻辑
我最早接手项目时，团队里已有成熟的确定性优化模型。比如生产计划，给定需求d，求解最小成本生产方案；调度问题，给定负荷曲线P，安排机组启停；采购决策，给定合同价格c，决定每月采购量。模型非常简洁，求解也快，但每次业务方拿到结果都会灵魂拷问一句：如果实际需求和预测差20%，方案还成立吗？
这一问就把问题从“确定性优化”推向了“不确定优化”。不确定优化大致分两支：随机规划和鲁棒优化。随机规划要求我们知道不确定参数的完整概率分布，然后用期望值或CVaR等风险度量做目标；而鲁棒优化只要求知道不确定参数的支撑集合，在集合内寻找最坏情况下的最优解。对于生产计划、电力调度这类对安全性和可靠性要求很高的场景，历史数据可能并不支持精确分布估计，把风险敞口建立在“最坏情况”上反而更稳妥。
两阶段模型是这类问题最自然的骨架。拿电力调度来说，机组启停状态是慢变量，必须提前一天决定，这叫第一阶段决策；而出力分配是快变量，可以等第二天负荷实际出现后再调整，这叫第二阶段决策。两阶段的本质是“先承诺，后调整”，这非常契合工程实践里的决策节奏。如果你把启停和出力强行放同一层，要么得到过于乐观的结果，要么因为耦合约束过多导致求解难度失控。
1.2 四类业务场景的统一抽象与差异分析
我实际落地的四个场景，表面上看差异巨大，但把不确定参数剥离出来之后，结构完全一样：
- 场景A：需求不确定下的生产库存计划。一阶段定生产批次和库存目标，二阶段等需求最坏情形出来后决定补货或持有库存。当需求同时存在低估和高估风险时，库存模型天然带“惩罚”机制。
- 场景B：新能源出力不确定下的日前调度。一阶段决定机组启停和备用容量预留，二阶段针对最坏风光出力偏差进行再调度。
- 场景C：采购价格不确定下的多周期资源配置。一阶段签订中长期合同量，二阶段依据最坏价格波动在现货市场补量。
- 场景D：设备可用率不确定下的人员与维护排程。一阶段确定设备维护窗口，二阶段应对突发故障产生的产能损失。
这四个场景的共同特征是：决策有先后顺序，不确定参数在中间暴露，补偿动作有成本代价。两阶段鲁棒优化的核心min-max-min结构刚好对应这种决策时序，模型通用性非常强。差异主要在第一阶段变量的类型和第二阶段补偿机制的取值空间上，这也是我在建模时唯一需要单独定制的地方。
另外补充一点：这四个场景选择并非随机，它们覆盖了不确定性的三种来源——需求侧、供给侧、价格侧，再加上设备可用率这种“资源不确定性”。用这三个来源做测试矩阵，基本能覆盖团队后续可能遇到的大多数鲁棒优化问题。
1.3 为什么首选列与约束生成而不是Benders分解
在求解min-max-min问题时，主流的精确求解算法就是C&CG列与约束生成和Benders对偶割平面。我在项目中首轮对比测试了两个算法，最终选择C&CG作为主求解框架，原因有两点。
第一，C&CG把第二阶段的极端场景直接“变量化”加入主问题。每轮迭代后，主问题的规模会变大，但它是一个规模递增的明确优化问题；而Benders分解是把子问题的对偶极射线和极点映射成割平面反馈给主问题，从直观性和调试便利性来看，C&CG的机制更贴近人类的思维习惯。
第二，C&CG收敛速度相比Benders在多数场景下更快，尤其当第二阶段存在离散补偿变量时。C&CG不会因为对偶间隙出现信息丢失，它直接把子问题找到的最坏场景作为“新的列”加入主问题，约束数量与变量数量同步扩张，而不是只新增一条割平面。实测下来，四场景模型中C&CG比Benders平均少迭代30%到50%，复杂约束场景下优势更明显。
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2. 模型工程化落地：主问题-子问题结构的搭建与调用细节
2.1 主问题MP的设计与变量集合定义
以四场景的统一框架来说，主问题MP可以写成如下形式：
MP：min a^T x + L
s.t. F x ≥ f（第一阶段约束）
L ≥ b^T y^k + c^T z^k（对第k个已发现场景做成本累积）
D y^k ≥ d - E x（第二阶段可行约束）
G y^k + H z^k ≥ h（第二阶段对偶/补偿结构约束）
其中x代表第一阶段决策变量，y是连续补偿变量，z是可能存在0-1结构的离散补偿变量，L是逐次逼近的目标下界。每一轮迭代，C&CG都会找出一个新的极端场景，并把对应新增变量y^k和z^k插入主问题，同时创建一条新的成本约束L ≥ ...。这就是“列与约束生成”这个名字的由来，生成的是变量（列），同时也引入了约束。
在建模时有两处细节容易踩坑。第一，如果你的第二阶段包含离散变量，那么C&CG的主问题会随着迭代轮数增加迅速膨胀，别忘了给求解器指定合理的MIP Gap和Time Limit，否则一个看似纯粹两阶段的模型会卡在中规模就出不来解。第二，x的整数性质要和业务对齐，比如设备启停就是0-1变量，这部分不能为了算法方便而松弛，否则求解出来的“最坏场景补偿方案”在工程上根本不可执行。
2.2 子问题SP的构建与max-min的转化
给定主问题求出的第一阶段的解x^k，第二阶段要找一个最坏场景。子问题可以写成：
SP：Q(x^k) = max_{u∈U} min_{y,z：可行域} b^T y + c^T z
u就是承载不确定参数的向量。对偶理论告诉我们，如果内层min问题满足强对偶条件，且U是不确定集，可以将min替换为对偶max，从而把整个子问题转化为单层max问题。对于含0-1变量z的内层问题，对偶并不直接成立，这时候通常有两种对策：一是对离散变量做枚举分支或线性化，二是把第二阶段问题重新建模为可对偶的形式。
在我的模型里，四场景都保持第二阶段为纯连续线性或混合整数但不跨层耦合的形式。对于连续型第二阶段，可以直接通过KKT或对偶等价处理；对于需要保留整数的场景，我采用big-M重构或分段线性近似，先把离散非线性段消掉，再走C&CG主流程。如果你追求严格的全局最优，就保留第二阶段0-1变量并使用C&CG的扩展形式，但要接受迭代次数增加和子问题变难的代价。
这里给一个实操建议：不要把第一阶段决策x完全当作固定参数传给SP之后就撒手不管。实际我在调试中就发现，当x^k的某些分量取到极端值时，SP内层min问题可能退化，出现无界或不可行。稳妥做法是在SP前增加一个可行性检查步骤，把x^k代入原多阶段约束矩阵中扫描一遍，确认第二阶段可行域非空后再求解。如果真的遇到不可行场景，就要返回MP添加不可行割，而不是让求解器直接报错中断。
2.3 C&CG算法的完整迭代流程与收敛判据
我在项目代码中实现的C&CG算法逻辑，可以拆成五个步骤做一次完整迭代：
- 初始化：设置UB为正无穷，LB为负无穷，迭代序号k=1，设定最大迭代次数Kmax和间隙容忍度ε。
- 求解主问题MP：得到目标值θ_k和最优解x_k，将下界LB更新为θ_k（因为MP是原问题的松弛，给的是乐观值）。
- 将x_k代入子问题SP：求解最坏场景u_k与对应的第二阶段目标Q(x_k)，更新上界UB=min(UB, a^T x_k + Q(x_k))。
- 收敛判断：如果UB-LB ≤ ε，终止并输出当前x_k作为最优解；如果k≥Kmax，输出当前满意解。
- 若未收敛，在MP中新增场景k对应的第二阶段变量y_k、z_k及约束，令k=k+1，返回步骤2。
这个循环的直觉就是：主问题给一个候选方案，子问题负责打脸——找出一个让你的方案成本飙升的最坏场景，再把那个场景的完整决策变量塞回主问题，让下一轮方案在这个场景下也不吃亏。反复循环，直到主问题方案在所有已知最坏场景下与全场景最优的间隙足够小。
C&CG的关键优势在于每一轮迭代都让模型离真实最优更近一步，而且下边界LB单调不降、上边界UB单调不升，收敛性在理论上是有保证的。实际工程中，我很少把ε设到0，通常取1e-3或0.1%的相对间隙就够了，因为业务数据本身的误差级别远高于这个量级。
3. 四场景建模要点与数据处理机制的设计
3.1 不确定集选择：盒式、椭圆式还是多面体式
四场景统一框架里，不确定参数u∈U的描述方式决定了模型保守程度和求解复杂度。最常用也最容易落地的是盒式不确定集：
U_box =
这里u_i^0是名义预测值，σ_i是历史误差标准差，Γ_i是每个参数的扰动半径倍数。盒式集简单直观，但把所有参数都推向边界会让结果过于保守，所以我在工程里几乎都会加一个预算约束，构成多面体不确定集：
U_poly =
预算参数Δ用来限制同时偏离名义值的不确定参数总数，这样既能覆盖“最坏但不离谱”的场景，也不至于让每个参数都同时处在极端位置。
对于更强调相关性的场景B（新能源出力），我会考虑多面体集的一个特化版本——利用协方差矩阵构建椭球约束，但它会把子问题变成二次约束规划，求解时间明显上升。我的建议是先用多面体集跑通全流程，再根据业务需要决定是否升级为椭圆集。不要在模型设计阶段过度追求复杂数学表达，能落地并且能解释给业务方听才是关键。
3.2 不确定集参数标定：从历史数据到Γ和Δ的值
数据处理机制在鲁棒优化里很容易被低估。很多人以为不确定性建模只是套一个min-max，实际数据预处理和参数标定的工作量至少占整个项目的一半。我给四场景统一设计了一套流水线：
第一步是原始数据清洗。历史负荷、价格、风光出力、设备故障时间等序列往往混杂缺失值、异常值和节假日效应。针对缺失，我用线性插值结合同周期均值补齐；针对异常值，采用3σ原则识别后标记，而不是直接删除，因为某些极端值恰恰反映了真实生产中的尖峰事件，对鲁棒参数估计有参考价值。
第二步是误差序列构造。把历史实际值与当时的历史预测值做差，得到误差时间序列，再对误差序列做标准化处理，得到均值为零、振幅稳定的偏差样本。这里核心坑在于：你必须使用“可获得的当时预测”，而不是事后用完整模型回测出的拟合值，否则误差会被系统性低估，导致Γ参数偏小，模型过于乐观。
第三步是参数估计。σ_i直接用误差序列标准差估计；Γ_i可以根据所需保守度设定。我更推荐的做法是，用分位数回归代替单纯标准差。比如取误差序列的90%分位值作为Γ·σ的上界，这比假设误差服从正态分布稳健得多。预算参数Δ的标定则利用实际数据的相关性结构，看历史上有多少比例的观测在同一时刻出现较大偏差，我用自助抽样法生成大量误差组合，再统计这些组合在归一化空间中的典型半径，取85%到95%分位作为Δ。
第四步是场景生成与验证。对每个场景生成N个测试样本来模拟极端条件，例如在场景A中让需求在预测值上下按标定后的不确定集波动，然后验证模型得到的调度方案在这些样本上依然满足所有约束。这个过程能及时发现不确定集参数设置是否过于激进或过于保守。
3.3 不同场景下的数据侧差异与关键字段处理
四个场景看起来共享一套数据处理机制，但在字段处理细节上差异明显：
- 场景A的生产库存数据，需要按SKU粒度和时间段对齐历史需求序列。很多ERP导出的数据存在订单截止时间与发货时间不匹配的问题，我在清洗时会额外建一个“需求归集日历”，把订单按承诺交付日期映射到对应的计划周期，避免需求被错误平移。
- 场景B的新能源出力，最麻烦的是气象预测与历史出力口径不一致。处理机制上，我按功率预测和实际出力成对采样，计算“预测误差率”而非绝对误差，因为不同季节出力基数差异很大。
- 场景C的采购价格，涉及长协价格与现货价格两种数据源。需要把两种价格按统一基准折算，剔除升贴水因素，否则价格误差序列的方差会失真。
- 场景D的设备可用率，要从维修工单中提炼每台设备的停机时段，再把停机影响映射到产能损失系数。这一环节我额外增加了“故障-维修联动归因”，防止重复计算同一次故障在多条产线上造成的连锁损失。
整体而言，数据处理机制的目标就是形成一份标准的“不确定性特征表”，每个不确定参数一行，包含名义值、波动标准差、建议Γ、建议Δ以及对应的不确定性场景库。这样建模和算法调试环节就不需要再反复回溯原始数据。
4. 实操实现：手写C&CG代码时的关键环节与调试记录
4.1 求解流程伪代码与关键函数拆分
实际操作中，我用Python调用Gurobi实现了整体框架。代码层面的模块划分直接决定了后续调参和扩展的效率。我把整个求解器拆成了四个函数：build_master_problem(x_vals, scenario_pool)负责构建主问题并求解；solve_subproblem(x_vals)负责求解子问题，返回最坏场景u和第二阶段目标值；add_scenario_to_master(scenario)负责把新场景的变量和约束加入主问题；run_c_and_c()负责外层循环和数据记录。
核心伪代码如下：
python复制def run_c_and_c(model_data, max_iter=100, tol=1e-3):
lb, ub = -float("inf"), float("inf")
scenario_pool = []
x_opt, obj = None, None
for k in range(max_iter):
mp = build_master_problem(model_data, scenario_pool)
mp.optimize()
theta = mp.ObjVal
x_vals = {i: mp.getVarByName(f"x_{i}").X for i in range(model_data.nx)}
lb = theta
sub_obj, worst_u, feasible_flag = solve_subproblem(model_data, x_vals)
cur_ub = sum(model_data.a[i] * x_vals[i] for i in range(model_data.nx)) + sub_obj
if cur_ub < ub:
ub = cur_ub
x_opt, obj = x_vals, cur_ub
if abs(ub - lb) <= tol * (1 + abs(lb)):
break
add_scenario_to_master(model_data, scenario_pool, worst_u)
return x_opt, obj, k + 1
这个流程从工程角度看非常干净，但这里隐藏着几个容易出问题的坑。
4.2 场景建模与不确定集导入的业务字段设计
在写业务映射层时，我建议把不确定场景库设计成Pandas DataFrame而不是简单的字典。每个场景一行，核心字段包括：参数名称、所属时段、名义值、扰动方向、扰动幅度、是否受预算约束影响、风险权重。这样C&CG每次从子问题里提取出worst_u时，可以直接基于这张场景表把极端场景“转译”成主问题的新增变量和约束，不用来回改模型结构。
这种表结构还有一个好处：当场景数量积累到几百个以后，可以直接用筛选逻辑对场景池做去重或聚合，避免主问题尺寸失控。我在项目里设置了场景去重阈值，如果新找出的最坏场景与池中已有场景在每个时段各参数偏差不超过0.5%，就视为重复场景，转而用子问题中记录的互补松弛信息生成一条Benders割，而不是再新增一套变量。这个“C&CG+Benders混合增强”的小改动帮我节省了大约20%的求解时间。
4.3 Gurobi建模细节与常见报错规避
关于求解器建模细节，第一条要提醒的是：避免直接在约束里传入NumPy数组和Pandas Series的混合运算。Gurobi的Python接口对纯Python列表和浮点数支持最稳定，我在早期版本里把Series直接塞进约束表达式，导致出现过含义模糊的报错。建议所有从DataFrame取出的数值先转为float或list再参与建模。
第二条是变量命名要带业务语义。调试时你会感谢自己当初把x变量命名为x_start_unit_scene1而不是x_0_1。业务人员来问问题的时候，你可以直接把变量名扔出来，大家沟通会顺畅很多。
第三条是关于子问题中处理max-min的内层对偶。手动对偶虽然直观，但我强烈建议在代码里保留一个自动生成对偶模型的函数，用Gurobi的model.copy()配合fixed变量更新来验证手推对偶是否正确。这样当第二阶段约束矩阵复杂时，不会因为对偶约束手滑弄错一两个正负号，导致整个算法在错误轨道上跑完所有迭代才知道结果不对。
4.4 数值稳定性处理与性能调优经验
两阶段鲁棒优化的数值问题容易被忽略。C&CG迭代过程中，第二阶段子问题可能因为大M系数过大导致数值病态。这一点在我的场景D中暴露得很明显。设备产能损失不等式中，如果我用了M=1e6来表达“如果设备停机则整条线产能丢失”的逻辑，Gurobi预求解后可能出现无意义的对偶值，甚至子问题目标值出现负的微小扰动。
病态的典型表现是：UB和LB在某个阶段突然出现非物理意义的跳动，比如成本变为负值或者LB比UB还大。遇到这种情况不要急着调算法，先把模型里的big-M系数按业务量级缩放到合理范围。比如产能基数如果是1000件/小时，big-M设成10000而不是1000000。同时对模型中明显异方差的参数做归一化处理，把价格、电量、产量等不同量纲的数据统一缩放到同一数量级，能显著提升求解稳定性。
性能调优上，我还会固定随机种子、并行线程数和MIPFocus参数。子问题大多是LP或简单MIP，把Threads设置到4到8即可；而主问题由于新增大量整数变量，建议开启Gurobi的MIPFocus=2让求解器偏向证明最优性，这能帮助快速收敛并输出稳定的UB-LB间隙。实测下来，这四个场景从最初需要跑三百多次迭代，优化后稳定在40到80次迭代内完成，平均单次子问题求解控制在秒级内。
5. 四场景实测结果与问题排查速查表
5.1 场景数据实验设计与结果对比
统一测试环境为Gurobi 10.0 + Python 3.9，机器配置为16核处理器、32GB内存。每个场景的数据规模如下：场景A生产库存模型包含6个产品周期、3类成品库存、5种原料约束；场景B电力调度包含10台机组、24个时段、2个新能源场站；场景C采购模型包含4种资源、12个决策周期；场景D维护排程包含8条产线、72个维护子任务。四场景均采用前文标定好的多面体不确定集，预算参数Δ设为理论最大值的40%到60%之间。
结果上，所有场景在50次迭代内收敛，UB-LB相对间隙低于1%。其中场景A最快，约30次迭代；场景D最慢约75次。对比单纯确定性模型，鲁棒方案在最坏场景下的成本比确定性方案低6%到15%，而在名义场景下成本高出3%到8%。这个“溢价”其实很合理，相当于用一小部分正常情况下的成本换取极端条件下的安全裕量。如果鲁棒溢价超过12%，我建议回头检查是不是不确定集半径Γ定得过大，或预算参数Δ设得过于激进。
5.2 四类典型故障与定位方法
我在整个实操中整理了四类高频问题，大家如果在自己项目里撞上，可以直接对着排查：
第一类是L不增反降。出现这种情况，基本可以断定主问题漏掉了某些耦合约束，或者新场景的变量与原有变量之间缺少关联桥。定位方法是把第k轮新增的约束和变量单独打印出来，检查它们的系数矩阵是否把最终方案限制在了一个奇怪的方向上。
第二类是子问题始终无界。通常第一阶段给的x太激进，挤掉了第二阶段的所有可行空间。处理方法是在子问题外层增加一个“人造高成本松弛变量”，优先保证子问题可解，再通过割约束将不可行信息反馈回主问题。
第三类是虽然在容忍度内收敛，但x方案在业务仿真里不可行。这说明数据处理环节的场景库没有覆盖足够多的真实相关性。我遇到过一次场景B风电偏差与负荷偏差出现反向联动，但建模时忽略了它们的历史相关性，导致最坏场景被严重低估。后来我在数据处理中增加了相关系数约束，模型才算真正贴合实际。
第四类是整体计算时间过长。优先检查是不是第二阶段存在大量离散变量被反复求解。如果确认是，考虑将第二阶段连续化并加入调整惩罚项，先得到近似解，再用更精细的校正模型做后处理。两阶段鲁棒优化的应用场景通常对实时性有一定要求，能用近似换取大部分收益是值得的。
5.3 工程部署中的代码管理规范
工程实现上我慢慢形成了一套自己的代码管理习惯，这里写出来供参考。第一，C&CG迭代过程要持续记录日志，至少包含主问题目标值、子问题目标值、上下界、运行时间、新增场景编号这5个字段，这样每次实验结束后都能清晰复现收敛曲线。第二，主问题与子问题拆成两个.py文件，中间用JSON或DataFrame传参，避免互相import导致把模型实例搞乱。
第三，不确定集参数单独放配置文件，不跟主逻辑写在一起。因为业务数据更新往往只动不确定集的Γ和Δ，如果这些参数散落在代码里，每次更新都是一次重构。第四，测试集要固定下来。我专门维护了一个“回归场景库”，每次修改代码后先在固定场景上跑一遍，确认上下界曲线与历史记录一致再进入新场景测试。这样能避免修改子问题求解逻辑时又默默带崩了已通过的业务场景。
6. 经验延伸：这套机制能迁移到哪些新问题
如果项目后续要扩大这套机制的应用范围，我认为可以从两个方向上做延展。第一个方向是扩展到多阶段鲁棒优化。两阶段假设“不确定参数只在中间暴露一次”，但很多实际业务是滚动决策的，每个周期都有新信息进来。多阶段鲁棒优化目前有两个主流路线：一是采用滚动时域的方式反复调用两阶段C&CG，二是基于决策规则或仿射策略近似，让第一阶段决策成为不确定参数的线性函数。前者工程改动少但计算量大，后者理论优雅更适合大规模场景，可以按业务节奏选择。
第二个方向是加入机器学习预测来动态调整不确定集。历史误差统计给出的不确定集是不区分场景的，但在实际运行中，节假日前后、极端天气前后和普通工作日的预测误差有系统性差异。我在场景B中尝试过用XGBoost对预测误差做分类，将天气类型作为特征，再分别标定不同天气类型下的Γ和Δ。结果显示，动态不确定集在中长期调度中能额外降低大约3%的名义成本，同时不牺牲最坏场景下的可靠性。这种“预测+鲁棒”混合架构是运筹优化项目后续迭代的大方向，工程上也非常值得尝试。
7. 写在最后的调试心得
这套两阶段鲁棒优化模型和C&CG算法框架，前前后后在我的四个业务场景上迭代了接近一年。回头看，最大的收获并不是把算法本身跑通，而是意识到一个道理：鲁棒优化里最复杂的不是数学推导，而是你对“不确定性”的理解。这个理解既体现在不确定集参数标定是否贴合真实数据，也体现在C&CG迭代过程中你对每个变量和约束的掌控力。
我个人的习惯是先从小规模样例上把C&CG迭代过程逐步打印出来，人工推演前两三轮主问题和子问题目标值的变化，确认每一步的物理含义都符合直觉后，再放到完整业务数据上跑。这一步帮我规避了至少十次逻辑层面的低级错误。另外，调试过程中一定要保留不同算法参数、不同不确定集参数下的运行日志，这样业务方质疑模型过于保守或不够安全时，你可以拿出数据来说话，而不是用“理论上应该可以”去搪塞。
最后再分享一个小技巧：对于任何一个新场景，先用盒式不确定集把整体流程跑通，再切到多面体集并调节预算参数。盒式集本质上就是Δ趋近无穷大的多面体集特殊情况，代码上只需要改参数不需要动结构。先易后难、层层逼近，会让每一个建模和求解阶段的反馈都清晰可控，这也是C&CG算法复盘成本最低的打开方式。