LeetCode 782题解析：矩阵变换为棋盘的最小交换次数

1. 问题背景与题目解析

LeetCode 782题"变为棋盘"是一个典型的矩阵变换问题。题目给定一个由0和1组成的n×n二维矩阵board，允许的操作是交换任意两行或两列的位置。我们的目标是计算出将这个矩阵变为"棋盘"所需的最小移动次数。

所谓"棋盘"，是指满足以下条件的矩阵：

1. 任意相邻的格子值不同（即0和1交替出现）
2. 第一行和第一列可以有任意起始值（0或1开始均可）

这个问题看似简单，但实际上涉及多个关键点需要处理：

• 棋盘的有效性检查
• 行列交换的最小次数计算
• 边界条件的处理

2. 棋盘性质分析与有效性检查

2.1 棋盘的基本性质

一个有效的棋盘必须满足以下数学性质：

1. 任意两行要么完全相同，要么完全相反（即每一位都取反）
2. 任意两列要么完全相同，要么完全相反
3. 行和列中0和1的数量必须满足特定比例：
   • 当n为偶数时，0和1的数量必须相等
   • 当n为奇数时，0和1的数量差必须为1

2.2 有效性检查实现

在Java中，我们可以这样实现棋盘的有效性检查：

java复制private boolean isValidBoard(int[][] board) {
    int n = board.length;
    
    // 检查第一行和第一列的性质是否满足
    int rowSum = 0, colSum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        rowSum += board[0][i];
        colSum += board[i][0];
    }
    
    // 检查0和1的数量比例
    if (n % 2 == 0) {
        if (rowSum != n / 2 || colSum != n / 2) return false;
    } else {
        if ((rowSum != n / 2 && rowSum != (n + 1) / 2) ||
            (colSum != n / 2 && colSum != (n + 1) / 2)) {
            return false;
        }