动态规划解决LeetCode不同路径问题

1. 问题描述与理解

LeetCode 62题"不同路径"是一个经典的动态规划问题。题目描述如下：一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角，每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角，问总共有多少条不同的路径？

这个问题看似简单，但蕴含着动态规划的核心思想。我第一次遇到这个问题时，直觉告诉我可以用递归来解决，但很快就发现递归的效率太低。后来通过分析，发现这是一个典型的可以用动态规划优化的问题。

2. 解题思路分析

2.1 暴力递归法

最直观的解法是使用递归。对于网格中的每个点(i,j)，到达它的路径数等于从上方(i-1,j)来的路径数加上从左方(i,j-1)来的路径数。递归的终止条件是到达第一行或第一列的任何位置，因为在这些位置只有一条路径（要么一直向右，要么一直向下）。

python复制def uniquePaths(m, n):
    if m == 1 or n == 1:
        return 1
    return uniquePaths(m-1, n) + uniquePaths(m, n-1)

这种方法虽然简单直观，但时间复杂度是指数级的O(2^(m+n))，在LeetCode上会超时。

2.2 动态规划解法

为了提高效率，我们可以使用动态规划。创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示到达(i,j)位置的不同路径数。根据问题描述，可以得到状态转移方程：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

初始化条件是第一行和第一列的所有位置都只有1条路径。

python复制def uniquePaths(m, n):
    dp = [[1]*n for _ in range(m)]
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
    return dp[-1][-1]

这种方法的时间复杂度是O(mn)，空间复杂度也是O(mn)。

2.3 空间优化解法

观察状态转移方程可以发现，我们只需要前一行的数据就可以计算当前行的数据。因此可以将空间复杂度优