动态规划核心思想与经典问题解析

1. 动态规划核心思想与应用场景

动态规划（Dynamic Programming）是算法设计中解决最优化问题的重要方法。它通过将复杂问题分解为相互重叠的子问题，并存储子问题的解来避免重复计算，从而显著提高算法效率。

1.1 动态规划的本质特征

动态规划适用于具有以下两个关键特征的问题：

1. 最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解
2. 重叠子问题：不同的子问题会重复求解相同的更小子问题

以背包问题为例，当我们考虑是否将当前物品放入背包时，需要基于之前物品的选择结果做出决策，这正是动态规划发挥作用的典型场景。

1.2 动态规划的解题框架

标准动态规划解题包含五个关键步骤：

1. 确定dp数组及下标含义
2. 确定递推公式
3. 初始化dp数组
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导验证

这个框架将贯穿我们后续对三个经典问题的解析。

2. 最后一块石头的重量问题（1049题）

2.1 问题重述与转化

给定一堆石头，每次选择两块粉碎，求最后剩下石头的最小可能重量。这个问题可以转化为经典的背包问题：

如何将石头分成两堆，使两堆的重量差最小？

设总重量为sum，我们需要找到一堆石头，其重量尽可能接近sum/2。这样两堆的重量差(sum - dp[target]) - dp[target] = sum - 2*dp[target]就是最小的剩余重量。

2.2 动态规划解法详解

2.2.1 一维DP实现

python复制class Solution:
    def lastStoneWeightII(self, stones):
        total_sum = sum(stones)
        target = total_sum // 2
        dp = [False] * (target + 1)
        dp[0] = True  # 重量0总是可以达到

        for stone in stones:
            for j in range(target, stone - 1, -1):
                dp[j] = dp[j] or dp[j - stone]

        for i in range(target, -1, -1):
            if dp[i]:
                return total_sum - 2 * i
        return 0

关键点解析：

1. dp[j]表示能否凑出重量j
2. 内层循环倒序避免重复计算
3. 最后从大到小查找最大的可达重量

2.2.2 二维DP实现

python复制class Solutio