完全平方数问题：动态规划与数学解法详解

1. 完全平方数问题解析

这道力扣hot100题目要求我们找到组成给定整数n所需的最少完全平方数数量。乍看简单，实则暗藏玄机。我第一次遇到这个问题时，直觉告诉我应该从最大的平方数开始尝试，但实际操作中发现这种贪心思路并不总是最优解。比如n=12时，最大的平方数是9，但12=9+1+1+1需要4个数，而最优解是12=4+4+4只需要3个数。

这个问题本质上属于完全背包问题的变种。我们可以把每个完全平方数看作一种"物品"，其"重量"就是平方数本身，背包容量是n，每种物品可以无限取用。我们的目标是恰好装满背包，且使用的物品数量最少。

2. 动态规划解法详解

2.1 状态定义与转移方程

定义dp[i][j]表示使用前i个完全平方数（即1²,2²,...,i²）组成和为j所需的最少数量。状态转移需要考虑两种情况：

1. 不使用i²：dp[i][j] = dp[i-1][j]
2. 使用i²：dp[i][j] = dp[i][j-i²] + 1（前提是j≥i²）

取两者中的较小值作为最终结果。这个转移方程体现了动态规划的核心思想——将大问题分解为子问题。

注意：初始化时dp[0][0]=0，表示用0个数组成0需要0个数；dp[0][j]=∞（j>0）表示不可能用0个数组成正数。

2.2 空间优化技巧

二维DP会消耗O(n√n)空间，实际上可以优化为一维数组：

java复制public int numSquares(int n) {
    int[] dp = new int[n + 1];
    Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
    dp[0] = 0;
    
    for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
        int square = i * i;
        for (int j = square; j <= n; j++) {
            if (dp[j - square] != Integer.MAX_VALUE) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - square] + 1);
            }
        }
    }