易行男·龙大崇最近在LeetCode上刷到一道很经典的题，题号268，英文名叫 Missing Number，中文一般叫“丢失的数字”。题目描述特别简单：给定一个包含 [0, n] 中 n 个数的数组，找出该范围中没有出现在数组中的那个数。但就是这么一道“简单题”，我见过不少人用哈希表、求和公式做完就扔了，很少有人去深挖题目背后的东西。直到我看到有人用位运算写出了一行核心逻辑的解法，才意识到这道题其实是一把非常好的钥匙——它能串起位运算的几个核心规则，还能让你在面试中展示出“我不是只会暴力解”的思维深度。
这篇文章我想完整记录一下我对这道题的理解过程：从最朴素的思路出发，到为什么位运算是这条路里最优雅的方案，再到异或解法的底层原理、代码实现、边界情况，以及它和哈希表、求和公式之间的复杂度博弈。最后我还会延伸几个位运算的常见变体，帮你把这一套思路从“会做一道题”变成“会做一类题”。如果你正准备面试，或者刚接触 C++ 算法题，这篇文章应该能给你一些不一样的启发。
1. 先拆题：题目给了你哪些隐藏信息
这道题表面看是个“查找缺失元素”的问题，但如果只盯着“查找”两个字，很容易一上来就想到哈希表或者排序，然后问题就变成了“怎么把缺失的那个找出来”。但我想说的是，先别急着写代码，把题目给你的信息全部列出来，你会发现有一些线索是被低估了的。
先看题目描述：给定一个包含 [0, n] 中 n 个数的数组 nums，找出缺失的那个数。举个例子，如果 n = 3，那么完整的序列是 [0, 1, 2, 3]，而数组可能只给了 [3, 0, 1]，那缺失的就是 2。
注意这里有几个关键信息：
- 数组的长度是
n，但数的范围是[0, n]，也就是说一共有n + 1个数，但只给了n个位置，所以一定恰好有一个数缺席。 - 范围是从
0开始连续到n，不是从 1 开始的，这意味着0的缺失是一种合法的边界情况。 - 数组中的元素是“无序”的，题目没规定必须有序。
- 数组中的元素不重复，因为没有哪个数会出现两次，除非
n个位置装不下n+1个不重复的数。
这几个信息组合起来，其实已经暗示了一条很重要的路：这个数组的长度和数值范围存在一个天然的“差值关系”。数组有 n 个元素，完整序列有 n + 1 个元素，缺失的那个就是两者之间的桥梁。顺着“差”这个思路想，很多人会想到求和公式：先把 0 到 n 全部加起来，再减去数组里所有数的和，差值天然就是缺失的那个数。
求和公式确实能解，而且写起来非常短。但它有一个隐患，后面我会详细讲。这里想强调的是，题目描述里其实还藏了一个容易被忽略的点：“只缺失一个数”意味着你可以把所有元素和所有下标建立映射关系。这个“下标”可能就是解题的突破点。如果我们把数组的每个位置也当成一个“数”，跟数组里的值放到一起看，你会发现什么？下标 0 到 n-1，值是 [0, n] 中的 n 个数，除了缺失的那个，其他每个数都会出现两次：一次作为值，一次作为下标（或者反过来）。这时候，位运算里的异或就变得非常有用了。
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2. 异或解法核心原理：为什么“自反性”在这里如此契合
在我讲异或解法之前，先带大家快速过一遍异或（XOR）运算的四个基本规则。这几个规则不是八股文，而是理解后面所有代码的关键。
- 归零律：
a ^ a = 0。任何数和自己异或，结果是 0。 - 恒等律：
a ^ 0 = a。任何数和 0 异或，结果还是它自己。 - 交换律：
a ^ b = b ^ a。 - 结合律：
(a ^ b) ^ c = a ^ (b ^ c)。
前两条是最核心的。如果把一个数和自己异或，它会消掉；如果和 0 异或，它会保留。这种特性天然适合用来找“只出现一次”或“出现奇数次的数”。
那放到“丢失的数字”这个场景里怎么用？思路是这样的：我们先把所有下标异或一遍，再跟数组中所有的值异或一遍。在数组里，除了那个缺失的数之外，其他每个数都会出现两次——一次是作为这个数本身，一次是对应的下标。异或运算遇到两个相同的数会互相抵消变成 0，所以那些成对出现的数全部会消掉。最后剩下的，就是既没有在下标集合里找到对应，也没有在原数组里出现两次的那个数，也就是缺失的数字。
这个“下标”和“值”配对抵消的过程，是整套解法的灵魂。很多人第一次看代码觉得“看不懂为什么这么短”，其实就是没理解这个配对逻辑。
直接看代码，C++ 实现如下：
cp复制