二分查找与牛顿迭代法求解平方根算法详解

1. 力扣69题：x的平方根解法全解析

这道看似简单的题目实际上考察了算法设计中的多个关键点：边界条件处理、数值溢出预防、算法效率优化等。作为一道经典的二分查找练习题，它完美展现了如何用O(log n)时间复杂度解决原本需要O(n)的问题。

2. 问题重述与理解

2.1 题目要求

我们需要实现一个函数，给定非负整数x，返回x的算术平方根的整数部分。例如：

• 输入4，输出2
• 输入8，输出2（因为2.828...取整）

特别限制：不能使用内置的指数函数或运算符（如pow()或**）。

2.2 关键约束分析

1. 整数结果：只需要返回整数部分，不需要小数精度
2. 非负输入：x的范围是0到2³¹-1（2147483647）
3. 禁用内置函数：必须自己实现平方根计算逻辑

3. 解法一：二分查找法

3.1 算法思路

二分查找是解决此类"在有序范围内查找特定条件值"问题的利器。对于平方根问题，我们可以利用以下性质：

• 平方根结果一定在[0, x]区间内
• 区间内的数值是有序的
• 可以通过比较mid²与x的大小关系来缩小搜索范围

3.2 实现细节

java复制public int mySqrt(int x) {
    if (x < 2) return x; // 处理0和1的情况
    
    int left = 1, right = x;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2; // 防止溢出
        long square = (long)mid * mid; // 转为long防止int溢出
        
        if (square == x) {
            return mid;
        } else if (square < x) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    return right; // 循环结束时right是最大的满足条件的整数
}