清单控沙牛最近刷题时刷到 HJ140《小红的合数寻找》这道题，题目很短，却意外地把合数判断、区间统计、数位枚举这几个基础点全串起来了。再结合搜索时经常一起出现的“1143. 纯粹合数”来看，这其实是一条很典型的“数论入门到进阶”路线：先会判断单个数是不是合数，再学会用筛法批量预处理，最后用前缀和回答多组区间询问。如果你刚开始刷算法题，或者想复习质数筛和前缀和，这篇文章应该能帮你少走不少弯路。
我拿到的题面描述很简单：小红拿到了一个区间 [l, r]，想知道这个区间里有多少个合数。部分版本还会追加一个条件，问其中有多少个“纯粹合数”。乍看是个再基础不过的题，但真正写起来，边界条件、筛法写法、输入输出性能都会影响你能不能一次通过。下面我就按自己的解题过程来拆一遍。
1. 题目在考什么：HJ140 的题意还原与核心考点
1.1 我拿到的题面和我对题意的解读
既然是“小红的合数寻找”，核心任务就是在一段连续整数区间里找出满足条件的合数。最常见的版式是：输入第一行一个整数 T，表示有 T 组询问，每组询问给两个正整数 l 和 r，要求输出区间 [l, r] 内合数的数量。
这里有一个必须提前盯死的定义：合数是大于 1 且不是质数的整数。换句话说，1 既不是质数也不是合数，0 也不是合数。很多新手第一次写这题，就是把 1 误判成合数，导致输出结果整体偏大。
至于“纯粹合数”，网上热词对应的是“1143. 纯粹合数”那道题。我见到的常见定义是：一个数 x 是纯粹合数，需要同时满足两个条件：
- x 本身是合数；
- x 的十进制表示的每一位都不是质数数字，也就是每一位只能来自 {0, 1, 4, 6, 8, 9}。
注意 0 和 1 本身不是质数，所以它们不算“质数数字”，在大部分题面里是允许出现的。比如 10、14、16 这些都是合数，而且数位里没有 2、3、5、7，所以算纯粹合数。这一点如果没读清楚，很容易把 10、14 这类数漏掉。
1.2 为什么这道题能串起一整套基础数论技能
这道题的精彩之处在于它一个题覆盖了三个层次的知识点：
第一个是质数/合数判断。单个数判断用试除法，批量判断用筛法，这是数论题的基本功。第二个是区间统计。如果不用前缀和，遇到多组询问基本必超时，这里考察的是“预处理换时间”的思维。第三个是数位拆分。纯粹合数要求检查每一位，这就涉及到十进制拆位，也是很多数位相关题目的雏形。
所以哪怕你只是想在 OJ 上把这道题的分数拿到，也建议把这三个层面的原理都搞清楚。我自己的感受是，做完这道题之后，再看“区间内统计某类特殊数”的题目，思路会清晰很多，因为它本质上就是“筛法/判断 + 前缀和/离线”的组合套路。
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2. 合数判断的两种姿势：试除法与筛法
2.1 试除法：判断单个数的合数/质数
判断一个数 n 是不是质数，最简单的办法是试除：枚举从 2 到 sqrt(n) 的所有整数，如果 n 能被其中任何一个整除，那它就是合数；否则就是质数。
为什么枚举到 sqrt(n) 就够了？因为如果 n 能分解成两个因子 a 和 b，也就是 n = a * b，那么 a 和 b 里至少有一个不超过 sqrt(n)。换句话说，如果 2 到 sqrt(n) 之间没有 n 的因子，那 n 一定是质数。这个结论虽然简单，却把 O(n) 的判断降到 O(sqrt(n))，在 n 比较小的时候非常实用。
python复制def is_prime(n):
if n < 2:
return False
i = 2
while i * i <= n:
if n % i == 0:
return False
i += 1
return True
这里有一个很多人忽略的坑：当 n 很大时，i * i 可能会溢出整数范围。比如在 C++ 里，n 接近 2^31 时，i*i 直接爆 int。保险的写法是改成 i <= n // i（Python）或 i <= n / i（C++）。虽然本题数据范围未必这么极限，但这个习惯最好从一开始就养成。
2.2 埃氏筛：批量预处理质数的首选
如果区间上限 n 是 1e6 甚至 1e7，而且有多组询问，再对每个数单独试除就不太合适了。这时候应该用筛法一次性把所有数的质数/合数状态算出来。
埃氏筛的思路很直白：准备一个布尔数组 is_prime，初始全部为 True，先把下标 0 和 1 设为 False。然后从 2 开始，遇到一个质