哈希算法在最长重复子序列问题中的应用

1. 题目解析与算法选择

1.1 题目核心需求

这道题目要求我们在一个长度为N的整数序列中，找到至少重复K次的最长子序列长度。这里的"重复"允许子序列重叠出现，比如在序列1 2 3 2 3 2 3 1中，2 3 2 3可以看作重复了两次（分别在位置2-5和4-7）。

关键点在于：

• 子序列必须是连续的
• 允许重叠出现
• 需要找到最长的满足条件的子序列

1.2 算法选择思路

对于这类子串匹配问题，常见的解法有：

1. 暴力枚举：检查所有可能的子串，时间复杂度O(n³)
2. 后缀数组：可以优化到O(nlogn)
3. 哈希+二分：时间复杂度O(nlogn)

考虑到题目中N的范围是2×10⁴，纯暴力解法显然不可行。这里我们选择哈希+枚举的方法，通过预处理字符串哈希来快速比较子串是否相同，将时间复杂度优化到O(n²)，在题目给定的数据范围内是可以接受的。

提示：在实际比赛中，如果N更大（比如1e5以上），就需要考虑更高效的算法如后缀数组了。

2. 哈希算法原理与实现

2.1 字符串哈希基础

字符串哈希是将字符串映射为一个数字的技术，常用的哈希方法是将字符串看作一个base进制的数。对于字符串s，其哈希值为：

code复制hash(s) = s[0]×base^(n-1) + s[1]×base^(n-2) + ... + s[n-1]×base^0

这种哈希方法的一个重要性质是：我们可以用前缀哈希数组在O(1)时间内计算任意子串的哈希值。

2.2 哈希预处理实现

在代码中，我们做了两个预处理：

cpp复制mul[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
    mul[i]=mul[i-1]*19260817;//预处理base的幂次
}
for(int i=1;i<=n;i++){
    hs[i]=hs[i-1]*19260817+a[i];//计算前缀哈希
}

这里：

• mul[i]存储的是base^i（base=19260817）
• hs[i]存储的是前i个元素的前缀哈希值

2.3 子串哈希计算

要计算子串a[l..r]的哈希值，公式为：

code复制hash(l,r) = hs[r] - hs[l-1] * mul[r-