动态规划解决三个无重叠子数组最大和问题

1. 问题背景与核心挑战

今天咱们来啃一道LeetCode上的硬骨头——第689题"三个无重叠子数组的最大和"。这道题在2023年字节跳动秋招中出现了变种，也是谷歌面试的高频题目。题目要求我们从一个整数数组nums中，找到三个长度为k的非重叠子数组，使得这三个子数组的和最大，并返回这三个子数组的起始索引。

我第一次看到这个题目时，直觉告诉我这肯定要用滑动窗口，但具体怎么处理三个窗口的约束条件，确实让我琢磨了好一阵子。经过多次调试和优化，终于总结出了一套清晰的解题思路，下面就把我的完整思考过程和实现方案分享给大家。

2. 暴力解法与初步优化

2.1 最直观的暴力解法

最直接的想法就是枚举所有可能的三元组组合。假设数组长度为n，我们需要：

1. 枚举第一个子数组的起始位置i（0 ≤ i ≤ n-3k）
2. 枚举第二个子数组的起始位置j（i+k ≤ j ≤ n-2k）
3. 枚举第三个子数组的起始位置l（j+k ≤ l ≤ n-k）
4. 计算这三个子数组的和，记录最大值

这种解法的时间复杂度是O(n³)，当n=10000时（LeetCode的测试用例规模），这显然会超时。

2.2 前缀和优化

我们可以先用前缀和数组预处理，将子数组求和的时间复杂度从O(k)降到O(1)。前缀和数组prefixSum的构建方式如下：

java复制int[] prefixSum = new int[nums.length + 1];
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
    prefixSum[i+1] = prefixSum[i] + nums[i];
}

这样，任意子数组nums[i..j]的和就可以用prefixSum[j+1] - prefixSum[i]来计算。优化后，暴力解法的时间复杂度仍然是O(n³)，但实际运行时间会有所改善。

3. 动态规划解法

3.1 动态规划状态定义

这道题的正解是动态规划。我们需要定义三个DP数组：

• dp1[i]：表示nums[0..i]范围内，1个长度为k的子数组的最大和
• dp2[i]：表示nums[0..i]范围内，2个长度为k的子数组的最大和
• dp3[i]：表示nums[0..i]范围内，3个长度为k的子数组