动态规划解决0-1背包与完全背包问题详解

1. 背包问题概述

背包问题是算法领域中经典的动态规划问题，主要研究在有限容量的背包中如何选择物品以获得最大价值。根据物品选取规则的不同，主要分为0-1背包和完全背包两种基本类型。

0-1背包问题中，每种物品只能选择放入（1）或不放入（0）背包一次；而完全背包问题则允许同一物品被无限次选取。这两种问题在实际应用中广泛存在，从资源分配到投资组合优化都能看到它们的身影。

2. 0-1背包问题详解

2.1 问题定义与数学模型

给定一个容量为W的背包和N件物品，每件物品有重量w_i和价值v_i。要求在不超过背包容量的前提下，选择物品使得总价值最大。其数学模型可表示为：

max Σ(v_i * x_i)
s.t. Σ(w_i * x_i) ≤ W
x_i ∈

2.2 动态规划解法

2.2.1 状态定义

定义dp[i][j]表示考虑前i件物品，背包容量为j时能获得的最大价值。

2.2.2 状态转移方程

对于第i件物品，有两种选择：

1. 不放入：dp[i][j] = dp[i-1][j]
2. 放入：dp[i][j] = dp[i-1][j-w_i] + v_i

因此状态转移方程为：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w_i] + v_i)

2.2.3 初始化

dp[0][j] = 0 (0 ≤ j ≤ W)
dp[i][0] = 0 (0 ≤ i ≤ N)

2.3 空间优化

观察状态转移方程发现，当前状态只与上一行状态有关，因此可将二维数组优化为一维数组：

python复制def knapsack_01(W, weights, values):
    n = len(weights)
    dp = [0] * (W + 1)
    for i in range(n):
        for j in range(W, weights[i]-1, -1):
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-weights[i]] + values[i])
    return dp[W]

注意：内层循环必须逆序遍历，避免同一物品被多次选取。

2.4 时间复杂度分析

时间复杂度：