动态规划解决LeetCode Unique Paths问题详解

1. 问题背景与理解

Unique Paths是LeetCode上一道经典的动态规划问题，编号为62。题目描述如下：一个机器人位于m×n网格的左上角，每次只能向下或向右移动一步，问到达网格右下角有多少条不同的路径。

这道题之所以经典，是因为它完美展现了动态规划的核心思想——将大问题分解为子问题，并存储子问题的解以避免重复计算。我在第一次遇到这个问题时，尝试用递归暴力破解，结果在稍大的网格（比如19×13）就触发了超时。这让我意识到必须寻找更优解法。

2. 动态规划解法详解

2.1 状态定义与转移方程

定义dp[i][j]表示到达(i,j)位置的路径数。根据移动规则，机器人只能从上方或左方来到当前位置，因此状态转移方程为：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

边界条件是第一行和第一列的所有位置都只有1种路径（只能一直向右或向下）。

python复制def uniquePaths(m: int, n: int) -> int:
    dp = [[1]*n for _ in range(m)]
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
    return dp[-1][-1]

2.2 空间优化技巧

观察状态转移方程可以发现，我们只需要前一行的数据即可计算当前行。因此可以将空间复杂度从O(mn)优化到O(n)：

python复制def uniquePaths(m: int, n: int) -> int:
    dp = [1] * n
    for _ in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[j] += dp[j-1]
    return dp[-1]

注意：在面试中如果能主动提出空间优化方案，通常会获得加分。建议先写出标准二维DP解法，再优化为一维。

3. 组合数学解法

3.1 数学原理分析

这个问题本质上是一个组合问题：从起点到终点需要移动(m-1)+(n-1)步，其中(m-1)步向