二叉树路径总和III：前缀和与哈希表优化解法

1. 问题背景与理解

今天遇到一道挺有意思的二叉树题目，LeetCode 437题"路径总和III"。这道题乍看简单，但实际写起来发现有不少细节需要注意。题目要求我们找出二叉树中路径和等于给定值的路径数量，这里的路径不需要从根节点开始，也不需要在叶子节点结束，但必须是从父节点到子节点的方向。

举个例子，给定二叉树：

code复制      10
     /  \
    5   -3
   / \    \
  3   2   11
 / \   \
3  -2   1

当目标和为8时，我们需要返回3。因为存在以下三条路径：

1. 5 → 3
2. 5 → 2 → 1
3. -3 → 11

2. 解题思路分析

2.1 暴力解法：双重递归

最直观的想法是使用双重递归。外层递归遍历每个节点，内层递归计算以当前节点为起点的所有路径和。

javascript复制function pathSum(root, targetSum) {
    if (!root) return 0;
    
    // 计算以当前节点为起点的路径数
    function countPaths(node, currentSum) {
        if (!node) return 0;
        
        currentSum += node.val;
        return (currentSum === targetSum ? 1 : 0) 
            + countPaths(node.left, currentSum) 
            + countPaths(node.right, currentSum);
    }
    
    // 遍历每个节点作为起点
    return countPaths(root, 0) 
        + pathSum(root.left, targetSum) 
        + pathSum(root.right, targetSum);
}

这个解法的时间复杂度是O(n²)，因为对于每个节点，我们都可能遍历它的所有子节点。空间复杂度是O(n)，由递归栈的深度决定。

2.2 优化思路：前缀和+哈希表

更高效的解法是使