杨辉三角算法解析与Python实现

1. 杨辉三角问题解析

杨辉三角是数学中一个经典的数字三角形排列，在编程面试和算法练习中经常出现。这个问题看似简单，但能很好地考察程序员对数组操作、递推关系和边界条件的处理能力。

1.1 问题描述与要求

题目要求给定一个非负整数 rowIndex，返回杨辉三角的第 rowIndex 行。这里需要注意题目中的索引是从0开始计数的。例如：

• 输入：rowIndex = 3
• 输出：[1,3,3,1]

1.2 杨辉三角的数学特性

杨辉三角的每个数字等于它上方两个数字之和（除了最外层的1）。数学上可以用组合数表示：第n行第k个数字等于C(n,k)。这个特性为我们提供了两种解题思路：

1. 逐行构建整个三角形直到目标行
2. 直接计算目标行的每个元素

2. 解法一：逐行构建法

2.1 基本实现思路

最直观的方法是构建整个杨辉三角直到所需行。我们可以初始化一个二维数组，然后按行填充：

1. 初始化结果列表
2. 每行的第一个和最后一个元素都是1
3. 中间元素等于上一行的相邻两个元素之和

python复制def getRow(rowIndex):
    triangle = []
    for i in range(rowIndex + 1):
        row = [1] * (i + 1)
        for j in range(1, i):
            row[j] = triangle[i-1][j-1] + triangle[i-1][j]
        triangle.append(row)
    return triangle[rowIndex]

2.2 复杂度分析

• 时间复杂度：O(n²)，需要构建n行，每行平均n/2个元素需要计算
• 空间复杂度：O(n²)，需要存储整个三角形

提示：这种方法虽然直观，但空间效率不高，特别是当rowIndex较大时。

3. 解法二：滚动数组优化

3.1 空间优化思路

观察到每行只依赖前一行，我们可以只维护前一行而不是整个三角形：

python复制def getRow(rowIndex):
    prev_row = []
    for i in range(rowIndex