图论最短路算法解析与LeetCode实战

1. 项目概述

今天要分享的是我在算法学习过程中整理的图论专题笔记，重点聚焦最短路算法和典型题目解析。这个专题包含三个核心部分：LeetCode第97题"小明逛公园"的解法思路、第127题"骑士的攻击"的图论建模，以及最短路算法的系统总结和比较。作为算法竞赛和面试中的高频考点，图论问题往往让初学者感到棘手，特别是如何将实际问题抽象为图论模型，以及不同场景下的算法选型。

我在刷题过程中发现，很多图论题目看似复杂，但核心都是对基础算法的灵活运用。比如"小明逛公园"本质上是最短路径问题的变种，而"骑士的攻击"则需要巧妙构建图模型。本文将用实际代码演示如何拆解这些问题，并附上我整理的算法对比表格和复杂度分析。对于正在准备算法面试或竞赛的同学，这些内容能帮你快速建立图论问题的解决框架。

2. 核心算法解析

2.1 最短路算法全家桶

最短路算法是图论中的基石，根据图的特点和问题需求，我们通常会在以下四种算法中选择：

1. Dijkstra算法：

   • 适用条件：无负权边的加权图
   • 时间复杂度：普通队列O(V²)，二叉堆优化O(E log V)
   • 核心思想：贪心策略，每次扩展当前最短路径

   python复制def dijkstra(graph, start):
       dist = {node: float('inf') for node in graph}
       dist[start] = 0
       heap = [(0, start)]
       
       while heap:
           current_dist, u = heapq.heappop(heap)
           if current_dist > dist[u]:
               continue
           for v, weight in graph[u].items():
               if dist[v] > dist[u] + weight:
                   dist[v] = dist[u] + weight
                   heapq.heappush(heap, (dist[v], v))
       return dist
   

2. Bellman-Ford算法：

   • 适用条件：允许负权边，能检测负权环
   • 时间复杂度：O(VE)
   • 优势：可以处理带负权的情况

3. SPFA算法：

   • 适用条件：Bellman-Ford的队列优化版本
   • 平均时间复杂度：O(E)，最坏O(VE)
   • 实际表现：在稀疏图上效率接近Dijkstra