归并排序高效解决逆序对问题

1. 逆序对问题概述

逆序对（Inversion Pair）是算法领域中一个经典问题，它衡量了一个序列的无序程度。在金融交易分析、基因序列比对、推荐系统等实际场景中都有重要应用。简单来说，在一个数组中，如果存在下标 i < j 且 nums[i] > nums[j]，那么(i, j)就构成一个逆序对。

注意：逆序对统计的是"前面比后面大"的情况，这与常规的排序方向相反，这也是为什么它能反映序列的无序程度。

以数组 [3,1,2] 为例：

• (3,1) 是一个逆序对
• (3,2) 是另一个逆序对
• (1,2) 不是逆序对
  所以这个数组总共有2个逆序对。

2. 暴力解法与优化思路

2.1 暴力解法分析

最直观的解法是双重循环：

cpp复制int count = 0;
for(int i = 0; i < n; i++) {
    for(int j = i+1; j < n; j++) {
        if(nums[i] > nums[j]) count++;
    }
}

这种方法时间复杂度是O(n²)，对于大规模数据（如n=10⁵）时，计算量会达到10¹⁰次，完全不可行。

2.2 分治思想引入

归并排序天然适合解决这个问题，因为：

1. 分治策略将问题分解为子问题
2. 合并过程可以利用已排序子数组的性质
3. 时间复杂度可以优化到O(nlogn)

关键突破点在于：在合并两个有序子数组时，可以高效统计跨越这两个子数组的逆序对。

3. 归并排序解法详解

3.1 算法框架搭建

首先建立基本的归并排序框架：

cpp复制class Solution {
    vector<int> tmp;
    int ret = 0;
public:
    int reversePairs(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        tmp.resize(n);
        mergeSort(nums, 0, n-1);
        return ret;
    }
    
    void mergeSort(vector<int>& nums, int left, int right) {