前缀和与哈希表优化子串统计问题

1. 问题背景与核心思路

这道题目来自AtCoder Beginner Contest 441的E题，要求我们统计字符串中满足特定条件的子串数量。具体来说，我们需要找出所有子串中'A'字符数量严格大于'B'字符数量的情况。

1.1 问题重述

给定一个由'A'、'B'、'C'组成的字符串S，长度为n。我们需要计算所有满足条件的子串S[i..j]的数量，其中子串中'A'的数量严格大于'B'的数量。

1.2 核心思路解析

这道题的关键在于如何高效地统计满足条件的子串数量。直接暴力枚举所有子串并检查条件的时间复杂度是O(n²)，对于较大的n（比如1e5）显然不可行。我们需要找到一种线性时间复杂度的解法。

核心思路是使用前缀和配合哈希表来优化统计过程：

1. 定义前缀和数组pre，其中pre[i]表示前i个字符中'A'的数量减去'B'的数量
2. 对于任意子串S[i..j]，其中'A'的数量减去'B'的数量等于pre[j]-pre[i-1]
3. 我们需要统计所有i<j且pre[j]-pre[i-1]>0的情况

2. 算法优化与实现细节

2.1 前缀和偏移技巧

由于前缀和可能出现负值，直接作为数组下标不方便。常见的处理方法是进行偏移：

cpp复制vector<int>tr(2*n+5,0);  // 哈希表数组
int cnt = n;  // 当前前缀和（已偏移）

这里我们使用2n+5大小的数组tr来记录各个前缀和出现的次数。初始时cnt=n，相当于把原始前缀和0映射到n的位置。

2.2 实时统计有效子串

在遍历字符串时，我们维护以下变量：

• cnt：当前前缀和（已偏移）
• o：以当前位置结尾的有效子串数量
• ans：累计的总有效子串数

对于每个字符的处理逻辑：

1. 遇到'A'：前缀和增加1，有效子串数增加tr[cnt-1]
2. 遇到'B'：前缀和减少1，有效子串数减少tr[cnt]
3. 遇到'C'：不做任何操作

每次处理后，更新tr[cnt]并累加o到ans中。

2.3 关键代码解析

cpp复制for(int i=0;i<n;i++){
    if(s[i]=='A'){
        cnt++;
        o+=tr[cnt-1];
    }e