快速幂算法原理与实现详解

1. 快速幂算法原理与实现

快速幂算法（Fast Exponentiation）是一种高效计算大整数幂运算的算法。传统计算a^b需要进行b-1次乘法运算，时间复杂度为O(b)，当b很大时（比如10^9），这种方法是不可行的。快速幂通过二进制分解技术，将时间复杂度优化到O(logb)。

1.1 二进制分解思想

快速幂的核心在于将指数b表示为二进制形式，然后利用幂的乘法性质进行分解。例如计算a^13：

13的二进制表示为1101，即：
13 = 8 + 4 + 0 + 1 = 2^3 + 2^2 + 0 + 2^0

因此：
a^13 = a^8 × a^4 × a^0 × a^1

而a^8可以通过连续平方得到：
a^8 = (a^4)^2 = ((a^2)^2)^2

1.2 算法实现

cpp复制long long quick_pow(long long base, long long exp) {
    long long res = 1;
    while (exp) {
        if (exp & 1) {
            res *= base;
        }
        base *= base;
        exp >>= 1;
    }
    return res;
}

算法步骤：

1. 初始化结果res=1
2. 检查exp的最低位是否为1
3. 如果为1，将当前base乘入res
4. base平方，exp右移一位
5. 重复直到exp为0

2. 带模数的快速幂

在实际应用中，经常需要计算a^b mod m。快速幂模数版本基于模运算的分配律：
(a×b) mod m = [(a mod m)×(b mod m)] mod m

2.1 模数快速幂实现

cpp复制long long quick_pow(long long base, long long exp, long long mod) {
    long long res = 1;
    base %= mod; // 先取模，防止初始base过大
    while (exp) {
        if (exp & 1) {
            res = (res * ba