动态规划解决字符串子序列与编辑距离问题

1. 动态规划专题精讲

今天咱们来啃动态规划领域的几块硬骨头——子序列相关的高频面试题。这些题目在各大厂的算法面试中出场率极高，但很多同学面对这类问题时总感觉无从下手。我将结合自己刷题和面试官的经验，带大家用动态规划的视角重新审视这些经典问题。

动态规划解题的核心在于状态定义和转移方程，而字符串问题往往需要二维DP数组来表示子问题的解。

1.1 题目概览与解题思路

我们先快速过一遍三个题目的基本要求：

1. 115.不同的子序列：给定字符串s和t，计算s的子序列中等于t的个数。例如s="rabbbit"，t="rabbit"，返回3。

2. 583. 两个字符串的删除操作：给定两个单词word1和word2，返回使word1和word2相同所需的最小删除次数。例如word1="sea"，word2="eat"，返回2。

3. 72. 编辑距离：给定两个单词word1和word2，计算将word1转换成word2所需的最少操作次数（插入、删除、替换）。例如word1="horse"，word2="ros"，返回3。

虽然题目表述各异，但它们的核心都是字符串匹配与编辑问题。解决这类问题的通用思路是：

1. 定义dp数组的含义（通常为二维）
2. 确定base case（初始条件）
3. 找出状态转移方程
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导验证

2. 不同的子序列问题解析

2.1 问题重述与示例分析

题目要求计算字符串s中等于t的子序列数量。子序列的定义是：不改变字符相对顺序的情况下删除某些字符得到的新字符串。

以示例s="rabbbit"，t="rabbit"为例：

• 删除s[3]得到"rabbit"
• 删除s[4]得到"rabbit"
• 删除s[5]得到"rabbit"
  因此返回3。

2.2 DP数组定义与初始化

我们定义dp[i][j]表示s[0..i-1]的子序列中等于t[0..j-1]的个数。这样定义可以方便处理空字符串的情况。

初始化条件：

• dp[i][0] = 1：空字符串是任何字符串的子序列
• dp[0][j] = 0 (j>0)：非空字符串不可能是空字符串的子序列

2.3 状态转移方程推导

考虑s[i-1]和t[j-1]的关系：

1. 当s[i-1] == t[j-1]时：
   • 可以选择使用s[i-1]匹配t[j-1]，此时数量为dp[i-1][j-1]
   • 也可以选择不使用s[i-1]匹配t[j-1]，此时数量为dp[i-1][j]
   • 因此dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]
2. 当s[i-1] != t[j-1]时：
   • 只能选择不使用s[i-1]，因此dp[i