子序列计数问题：排序与双指针算法解析

1. 题目解析与解题思路

1.1 问题重述

给定一个整数数组 nums 和一个整数 target，要求计算数组中满足最小元素与最大元素的和小于或等于 target 的非空子序列的数目。由于结果可能非常大，需要对结果取模 10^9 + 7。

子序列的定义是不需要连续的元素，但需要保持原始顺序。例如对于数组 [3,5,6,7]，[3,6] 是一个有效的子序列，而 [6,3] 则不是。

1.2 关键观察点

1. 子序列特性：子序列的最小值和最大值决定了其是否满足条件，中间元素的选择不影响条件判断
2. 幂次计算：对于确定的 min 和 max，中间有 x 个元素时，有 2^x 种可能的子序列组合
3. 排序优势：将数组排序后可以更高效地找到满足条件的子序列范围

1.3 解题思路演变

初始思路可能是暴力枚举所有子序列，但时间复杂度为 O(2^n)，对于 n=10^5 的数据规模完全不适用。通过分析子序列特性，我们发现：

1. 排序后可以更方便地确定最小值和最大值的范围
2. 对于每个最小值 nums[i]，可以找到最大的 nums[j] 使得 nums[i]+nums[j]<=target
3. 中间元素的组合数可以通过预计算 2 的幂次来快速获取

2. 解法一：排序+二分查找

2.1 算法设计

1. 预处理阶段：

   • 对数组进行排序（O(nlogn)）
   • 预计算 2 的幂次数组（O(n)），用于快速获取组合数

2. 核心计算：

   • 遍历每个元素作为最小值候选（O(n)）
   • 对每个 nums[i]，使用二分查找找到最大的 j 满足 nums[i]+nums[j]<=target（O(logn)）
   • 计算以 nums[i] 为最小值的有效子序列数：2^(j-i)

3. 结果处理：

   • 累加所有有效子序列数
   • 对结果取模

2.2 代码实现详解

java复制class Solution {
    static final int MODULO = 1000000007;

    public int numSubseq(int[] nums, int target) {
        int