我说老李你说黑1. 问题背景与核心挑战
今天我想和大家分享一道有趣的编程竞赛题目——UVa 13081 XOR Sequence Revisited。这道题看似简单，但其中蕴含着不少位运算的巧妙应用，特别适合想要提升算法思维能力的编程爱好者。
问题的核心是处理一个特殊序列的按位与运算。给定序列A定义如下：
- A₀ = 1
- 对于x>0，Aₓ = A_{x-1} ⊕ x（⊕表示按位异或）
我们需要计算区间[L,R]内所有Aᵢ的按位与结果。数据范围极大（L,R≤10¹⁵），测试用例多达10⁵组，这意味着暴力计算完全不可行。
提示：按位与运算的特性是"一0则0"，即只要区间内有一个数的某位为0，结果该位就必定为0。这个性质将成为我们解题的关键突破口。
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2. 序列规律的深度解析
2.1 异或序列的数学推导
首先我们需要找出Aₓ的通项公式。根据定义：
Aₓ = A_{x-1} ⊕ x
= (A_{x-2} ⊕ (x-1)) ⊕ x
= ...
= A₀ ⊕ 1 ⊕ 2 ⊕ ... ⊕ x
= 1 ⊕ f(x) （其中f(x)=1⊕2⊕...⊕x）
f(x)的计算有经典结论：
- x mod 4 = 0 → f(x)=x
- x mod 4 = 1 → f(x)=1
- x mod 4 = 2 → f(x)=x+1
- x mod 4 = 3 → f(x)=0
因此我们可以得到Aₓ的完整表达式：
| x mod 4 | Aₓ表达式 | 示例验证 |
|---|---|---|
| 0 | 1 ⊕ x | A₄=1⊕4=5 |
| 1 | 1⊕1=0 | A₁=0 |
| 2 | 1⊕(x+1) | A₂=1⊕3=2 |
| 3 | 1⊕0=1 | A₃=1 |
这个周期性规律让我们无需计算整个序列，只需根据x mod 4就能确定Aₓ的值。
2.2 按位与运算的特性利用
按位与运算有个重要性质：对于每一位独立判断，只有区间内所有数该位都为1时，结果该位