动态规划在字符串处理中的应用：子序列与最优代价问题

1. 动态规划解题方法论：从子序列计数到最优代价问题

动态规划（Dynamic Programming）是算法领域解决复杂问题的利器，尤其在处理字符串相关问题时展现出强大的威力。今天我将通过两道力扣经典题目（115.不同的子序列和712.两个字符串的最小ASCII删除和），带大家深入理解动态规划在字符串处理中的应用。

这两道题看似不同，实则都遵循动态规划的核心思想：定义状态、确定边界、推导转移方程。我们先从子序列计数问题入手，再探讨最优代价问题的解法，最后你会发现它们本质上是同一套方法论在不同场景下的灵活应用。

2. 子序列计数问题：115.不同的子序列

2.1 问题理解与状态定义

给定字符串s和t，我们需要计算s中出现t的不同子序列的数量。例如：

• s = "rabbbit", t = "rabbit" → 输出3
• s = "babgbag", t = "bag" → 输出5

这里的关键是理解"子序列"的定义：不改变字符相对顺序，通过删除某些字符得到的新字符串。注意与"子串"的区别，子串要求字符必须连续。

我们定义dp[i][j]表示：s从第i个字符开始的子串(s[i:])中，包含t从第j个字符开始的子串(t[j:])作为子序列的数量。这种从后往前的定义方式在字符串DP中很常见，能简化边界条件的处理。

2.2 边界条件与状态转移

边界条件是DP问题中容易被忽视但至关重要的部分：

1. 当j = n（t遍历完）：空字符串是任何字符串的子序列，因此dp[i][n] = 1
2. 当i = m且j < n（s遍历完但t未完成）：空字符串无法包含非空字符串，dp[m][j] = 0

状态转移方程需要考虑两种情况：

1. s[i] == t[j]时：

   • 可以选择用s[i]匹配t[j]，然后看dp[i+1][j+1]
   • 也可以选择不用s[i]匹配t[j]，看dp[i+1][j]
   • 因此dp[i][j] = dp[i+1][j+1] + dp[i+1][j]

2. s[i] != t[j]时：

   • 只能跳过s[i]，看dp[i+1][j]
   • 因此dp[i][j] = dp[i+1][j]

2.3 Java实现与优化技巧

java复制class Solution {