动态规划解决砝码称重组合问题

1. 问题背景与需求分析

这道来自华为机考的"称砝码"问题，表面看似简单，实则考察了多重编程思维。题目通常给出n种不同重量的砝码各若干枚，要求计算出用这些砝码能称出多少种不同的重量组合。这类问题在实际场景中广泛存在于物流称重、实验室测量、工业生产等领域。

举个例子，假设有1g和2g两种砝码，数量分别为2个和1个，那么可以组合出：0g（不放砝码）、1g、2g（1+1或单个2）、3g（1+2）、4g（1+1+2）共5种重量。这就是我们需要通过程序实现的组合计算。

2. 核心算法解析

2.1 动态规划解决方案

这类组合问题最适合采用动态规划（DP）来解决。DP的核心思想是将大问题分解为小问题，通过解决小问题来构建大问题的解。

我们定义一个布尔型数组dp，其中dp[i]表示重量i是否可以被称出。初始化时dp[0]=true（表示0重量总是可达），其余为false。然后遍历每种砝码，更新dp数组。

python复制def count_weights(weights, counts):
    total = sum(w*c for w,c in zip(weights, counts))
    dp = [False]*(total+1)
    dp[0] = True
    
    for w, c in zip(weights, counts):
        for i in range(total, -1, -1):
            if dp[i]:
                for k in range(1, c+1):
                    if i + w*k <= total:
                        dp[i + w*k] = True
    return sum(dp)

2.2 算法优化思路

上述基础实现有三个关键优化点：

1. 逆向遍历重量范围，避免同一砝码被重复计算
2. 提前计算最大可能重量，减少无效计算
3. 使用集合代替数组可以节省空间，但可能略微降低速度

3. 完整实现与测试

3.1 Python实现代码

python复制def solve():
    n = int(input())