图论算法实战：Dijkstra与拓扑排序详解

1. 图论专题训练概述

今天继续我们的图论算法专项训练，这是代码随想录训练营的第49天。经过前期的图论基础学习，我们已经掌握了图的表示方法、遍历方式等核心概念。本次训练将重点突破图论中的几个经典问题，包括最短路径算法、拓扑排序等实际工程中经常遇到的场景。

在工业级应用中，图论算法往往需要处理百万级节点和边的数据规模。比如社交网络的好友推荐、物流配送的路径规划、网络拓扑的故障排查等场景，都需要高效的图算法作为支撑。本次训练选择的题目都是经过精心筛选的实战型题目，既包含基础算法的实现，也涉及典型应用场景的解决方案。

2. 核心算法解析与实现

2.1 Dijkstra最短路径算法

Dijkstra算法是解决单源最短路径问题的经典算法。其核心思想是维护一个优先队列，每次从队列中取出当前距离起点最近的节点，并更新其邻居节点的距离。这个算法在路由协议、地图导航等场景有广泛应用。

实现时需要注意几个关键点：

1. 使用优先队列（最小堆）来高效获取当前最小距离节点
2. 需要维护一个距离数组记录各节点到起点的最短距离
3. 对于已经确定最短路径的节点需要做标记，避免重复处理

以下是基于邻接表的Python实现示例：

python复制import heapq

def dijkstra(graph, start):
    distances = {node: float('inf') for node in graph}
    distances[start] = 0
    heap = [(0, start)]
    
    while heap:
        current_dist, current_node = heapq.heappop(heap)
        if current_dist > distances[current_node]:
            continue
            
        for neighbor, weight in graph[current_node].items():
            distance = current_dist + weight
            if distance < distances[neighbor]: