分治算法递推式求解：主定理临界判断与递归树验证

期末那几天，总有学弟学妹把“习题5.1”拍给我看，说递归式套主定理老是套错，明明觉得是 Theta(n^2)，答案却写 Theta(n^2 log n)，怎么想都不对。说实话，我当年学《算法设计与分析》的时候也在这个地方卡了很久。第五章的分治算法看起来简单，但一到复杂度的递推式求解，就暴露出两个问题：一是不知道用代入法、递归树、主定理中的哪个；二是知道了工具，却不会判断该套哪一种情形。

这篇我不打算干巴巴地讲定义，而是拿一道典型的“习题5.1”类题目，把整个分析过程从头到尾走一遍。你会看到为什么答案是那个log，也会看到主定理在临界情况下的判断有多容易出错。不管你是在准备“算法设计与分析期末”考试，还是平时做课后作业，这套思路都可以直接复用到其他递推式上。

1. 习题5.1在考什么：递推关系式的渐近界

1.1 我先把你大概会遇到的题面还原出来

很多算法教材的第五章，主题是分治策略。对应到作业和考试，习题5.1这类题目往往是同一个味道：给你一个分治算法的递推式，要求写出时间复杂度的渐近紧确界。

常见的题面有几种版本：

• T(n)=2T(n/2)+n
• T(n)=4T(n/2)+n^2
• T(n)=3T(n/2)+n^2
• T(n)=T(n/2)+1

我这次重点用 T(n)=4T(n/2)+n^2 来讲。原因很简单：这道题表面上看，4T(n/2) 的开销和 n^2 好像“势均力敌”，很容易让人犹豫。而犹豫的地方，恰恰就是主定理最有价值的地方。

如果你手头的习题5.1不是这道，也没关系。只要它长得像 T(n)=aT(n/b)+f(n) 这种标准形式，下面这套判断方法完全通用。

1.2 为什么这类题被放在第五章

你可能觉得递归式只是一个数学题，但它的应用场景非常具体。归并排序的复杂度是 T(n)=2T(n/2)+Theta(n)，二分查找是 T(n)=T(n/2)+Theta(1)，大整数乘法、棋盘覆盖、最近点对，几乎所有经典分治算法的复杂度分析都会落到同一个模型上：

• 把规模为 n 的问题拆成 a 个子问题；
• 每个子问题规模约 n/b；
• 合并这些子问题结果需要 f(n) 时间。

所以写出 T(n)=aT(n/b)+f(n) 只是第一步，真正值钱的是后续的化简能力。第五章的习题5.1就是给你一个集中练习化简能力的机会。你要是能把这个递推式玩明白，后面学动态规划的二维DP、状态转移复杂度分析时，会发现压力小很多。

1.3 这类题的核心目标：渐近紧确界

注意题目里如果写“求渐近紧确界”，那答案不能用 O(n^2 log n) 糊弄，最好写 Theta(n^2 log n)。因为 O 只给上限，Theta 才同时给上下限。期末考试最忌讳的就是只记“大概是一个n平方乘个log”，却分不清自己到底证没证下界。

牢记一个判断标准：如果主定理能套用，它给出的结论条件足够强，可以直接写 Theta。如果能套但你没写 Theta，阅卷老师可能扣分，这就是第一道隐藏的失分点。

2. 三种解法不是三选一，是一条验证链

很多人以为代入法、递归树、主定理是三种互相独立的方法，考试时选一个就行。实际做题时，它们更像一条验证链：主定理负责快速给答案，递归树负责解释答案为什么合理，代入法则负责严格证明。

2.1 代入法：先猜后证，注意常数松弛

代入法的思想很直白：先猜一个渐近界，再用数学归纳法证明它。

比如我们要证明 T(n)=4T(n/2)+n^2 是 O(n^2 log n)。猜测存在常数 c>0，使得：

T(n) <= c n^2 log n

对足够大的 n 成立。

代入递归式右边：

T(n) <= 4 * c * (n/2)^2 * log(n/2) + n^2

化简：

= c n^2 (log n - 1) + n^2

= c n^2 log n - c n^2 + n^2

要让这个结果小于等于 c n^2 log n，只需要 1-c <= 0，也就是 c >= 1。

这里其实藏了一个新手常犯的错：归纳证明时，要保证对递归调用那一层也成立，所以归纳假设必须对 n/2 成立。而我们证明的是 n，这个逻辑闭合没有问题。但还有一种更隐蔽的问题，就是底数。log(n/2)=log n - 1 这个式子默认了底数是2，因为层数算出来是 log_2 n。所以在写证明步骤时，别把底数丢掉，否则递归树和主定理里的 log_b a 会对不上。

代入法在这道题里能证上界，但如果你只证了 O，没证 Omega，严格来说还不叫“紧确界”。要证下界，通常用 T(n) >= c n^2 log n 同样代入一遍。很多教材把这一步省略，但考试写完整答案时，至少要在最后说一句“类似可证下界”。

2.2 递归树：把复杂度“看”出来

代入法最大的问题是：你猜错了方向，后面全白费。所以面对陌生递归式，我更喜欢先画递归树，把每一层的开销看明白，再去猜。

还是拿 T(n)=4T(n/2)+n^2：

• 根节点：规模 n，自身开销 n^2；
• 第二层：有4个节点，每个规模 n/2，每个开销 (n/2)^2，这层总开销是 4 * n^2/4 = n^2；
• 第三层：有16个节点，每个规模 n/4，每个开销 (n/4)^2，这层总开销是 16 * n^2/16 = n^2。

看出来了吧？每一层总开销都是 n^2，没有衰减也没有增长。

树长到叶子节点的时候，叶子规模变成常数。因为每次除以2，层数是 log_2 n。把所有层加起来：

n^2 + n^2 + ... + n^2

一共有 Theta(log n) 层，所以总量是 n^2 * Theta(log n) = Theta(n^2 log n)。

递归树在考试里的价值不只是让你“看出答案”，它还能帮你检验主定理套得对不对。如果你在这个例子里看到每层开销恒定，你就知道结果必然带一个 log n，不可能只有 n^2。

2.3 主定理：最省事，但也有前提

主定理是专门针对 T(n)=aT(n/b)+f(n) 的快捷工具。条件包括 a>=1、b>1、f(n) 是正的渐近函数。

它比较的是 f(n) 和 n^(log_b a) 的大小关系：

对 T(n)=4T(n/2)+n^2 来说：

• a=4, b=2
• n^(log_b a)=n^(log_2 4)=n^2
• f(n)=n^2

f(n) 和 n^(log_b a) 完全相等，所以落进Case 2的 k=0 情形，结论是：

T(n)=Theta(n^2 log n)

主定理最怕的不是记忆，而是“看起来有点像，实际差一点”。很多人把Case 1理解成“f(n)比n^(log_b a)小就能用”，这是错的，下一节我专门说这个问题。

3. 主定理使用中那些让人踩坑的边界

3.1 不要只盯着指数大小

Case 1的那个 epsilon 是什么意思？它的意思是：f(n) 不仅要小，而且要小出一个“多项式级别的余量”。

举个例子，T(n)=2T(n/2)+n 里面：

• n^(log_b a)=n^(log_2 2)=n
• f(n)=n

它们相等，不满足Case 1的“小一个epsilon”，也不满足Case 3的“大一个epsilon”，只能套Case 2。最终答案是 Theta(n log n)，不是 Theta(n)。

如果题目变成 T(n)=2T(n/2)+n/log n，那更麻烦。f(n)=n/log n 比 n^(log_b a)=n 要小，但小得很慢，不满足 O(n^(1-epsilon)) 对任意 epsilon>0 成立的条件。这种情况下标准主定理直接失效，需要用递归树或者更精细的版本。考试一般不会故意出这种变态题，但平时作业里看到它，要能意识到“标准主定理套不了”。

3.2 Case 3的正则条件是隐性大坑

很多同学只记Case 3开头那半句“f(n) 比 n^(log_b a) 大一个多项式量级”，然后把正则条件忘得一干二净。

正则条件长这样：

a f(n/b) <= c f(n)

对某个常数 c<1 和足够大的 n 成立。

平时遇到的题目绝大多数都满足这个条件。比如 T(n)=3T(n/2)+n^2：

• a=3, b=2
• n^(log_b a)=n^(log_2 3) ≈ n^1.585
• f(n)=n^2，确实比 n^1.585 大一个 epsilon=0.415 的量级

验证正则条件：

a f(n/b)=3*(n/2)^2=(3/4)n^2

取 c=3/4，就有 (3/4)n^2 <= c n^2，条件满足。所以答案可以写 Theta(n^2)。

但如果你是考试，把正则条件单独列一行，一方面显得你懂原理，另一方面也防止主定理只是“恰好蒙对”。如果题目换成 f(n)=n^2(1+sin n)，这种振荡函数无法满足正则条件，主定理就不适用了。虽然考试不常考，但理解了这一步，你对主定理的信任度会高很多。

3.3 临界情况下的log因子怎么变

最容易搞混的其实是Case 2里的细节。标准主定理教材里常写：

如果 f(n)=Theta(n^(log_b a))，则 T(n)=Theta(n^(log_b a) log n)。

这里的 log n 多出来，就是因为每一层开销都差不多，叠了 log_b n 层。但如果 f(n) 本身还有一个log因子，例如：

T(n)=4T(n/2)+n^2 log n

那答案不是 n^2 log n，而是：

Theta(n^2 log^2 n)

用扩展版的Case 2理解：如果 f(n)=Theta(n^(log_b a) log^k n)，则：

T(n)=Theta(n^(log_b a) log^(k+1) n)

很多期末考试会把这道变体放进选择题，专门钓那些只背基本主定理的人。看到 n^2 log n 别兴奋，先看 k 是几，再决定log要加几次方。

4. 把习题5.1的完整解题模板走一遍

4.1 写在试卷上的标准过程

考试答案不要只写一个最终结果，最好按下面的模板写：

code复制T(n)=4T(n/2)+n^2

令 a=4, b=2, f(n)=n^2。

n^(log_b a)=n^(log_2 4)=n^2。

因为 f(n)=Theta(n^2)=Theta(n^(log_b a))，
属于主定理情况2，k=0。

所以 T(n)=Theta(n^2 log n)。

这个结构有三个关键量必须写清楚：a、b、以及 n^(log_b a)。只要你把这三个量摆出来，阅卷老师一眼就能看出你会不会。很多人跳步直接写“主定理得”，一旦结果算错，过程分都没有。

4.2 为什么递归树验算能发现主定理套错

有同学可能觉得：既然主定理算出来是 Theta(n^2 log n)，为什么不用它直接交差？

因为人都会算错。比如把 log_2 4 算成 2，n^2 就相等，这个没问题。但一旦遇到 a=4, b=2, f(n)=n^3，有人会机械地比较“n^3和n^2谁大”，看到前者大就套Case 3，得到 Theta(n^3)。这个答案没错，但中间思考过程如果不用递归树验证一遍，就不知道Case 3凭什么成立。

用递归树看 T(n)=4T(n/2)+n^3：

• 第一层开销 n^3；
• 第二层有4个节点，每个开销 (n/2)^3=n^3/8，总开销 n^3/2；
• 第三层总开销 n^3/4。

每层都按比例衰减，所以整体复杂度由根节点主导，最终是 Theta(n^3)。这正好对应Case 3的直觉：如果合并开销增长太快，子问题再分裂也追不上，根节点说了算。

反过来，如果每层开销都增长，比如 T(n)=2T(n/2)+n^3，其实第一层 n^3，第二层两个 (n/2)^3，总 n^3/4，还是在衰减。真正增长的情形需要 a 和 b 的比值达到一定程度。这些画一遍树就懂了。

4.3 如果题目要求证明主定理里的Case 2

有些学校期末不满足于“会用”，还会让你简单说明为什么Case 2的结论带log。

思路就是从递归树推导。一般形式：

T(n)=aT(n/b)+f(n)

树的高度是 log_b n。第 j 层有 a^j 个节点，每个节点的子问题规模是 n/b^j，所以第 j 层的总开销是：

a^j f(n/b^j)

如果取 f(n)=n^2，且 a=b^2，代入得：

a^j (n/b^j)^2 = n^2 (a/b^2)^j = n^2

因为 a/b^2=1，所以每一层开销恒为 n^2，层数 log_b n 乘上去，结果就是 n^2 log n。这里如果用 log_2 还是 log_b，只差一个常数，Theta表示里可以忽略。

这个推导不复杂，但建议亲手算一次。很多同学纠结log底数，其实完全没必要，因为Theta符号会吸收常数因子。考试里你写 log n，默认就是以2为底，不会出问题。

5. 期末考试复习：把一道题扩展到一类题

5.1 必背的常见递推式结果表

复习到后期，我会建议学生把高频递推式的结果直接背下来，不是为了偷懒，而是为了在考场上建立“答案敏感度”。下面这几个必须一眼能反应：

背这张表不是终点，你要能用自己的话解释每一行为什么。解释不出来的，立刻画递归树。

5.2 遇到递推式，先做这三步

我自己的做题顺序是：

1. 先看是不是 T(n)=aT(n/b)+f(n) 这种分治形态。如果不是，比如 T(n)=T(n-1)+n，那就是累加求和，别硬套主定理。T(n)=T(n-1)+n 的结果是 Theta(n^2)，因为从1加到n。
2. 如果是标准形态，先把 a、b、n^(log_b a) 写出来。
3. 比较 f(n) 和 n^(log_b a)：大于、小于、还是临界相等。然后判断能不能套Case 1或Case 3。如果不能严格判断，或者结果不敢确认，画递归树。

这个顺序可以避免最常见的“拿到题就套主定理，套完发现条件不满足”的尴尬。

5.3 几个我亲眼见过的考场失分点

我把这几年帮人改作业时发现的共性错误列在下面：

• 把 a 和 b 弄反。T(n)=4T(n/2) 里，a=4 是分支数，b=2 是规模缩小的倍数。写成 n^(log_b a) 时是 n^(log_2 4)，不是 n^(log_4 2)。
• 把 n^(log_b a) 和 f(n) 的相等误判成Case 1或者Case 3。相等就是Case 2。
• Case 3忘记验证正则条件。考卷上写一句“且正则条件成立”不亏，但别只在心里觉得。
• 最后结果只写 O 不写 Theta。题目说“渐近界”时，通常默认要紧确界。
• 忽略“假设n是2的幂”这个前置。严格地说，递推式在任意整数n下可能因为取整产生小差异，但大多数教材默认n是b的幂，不影响最终渐近界。考试时如果题目没写，你可以在解答开头说“不失一般性，假设n/b为整数”，这句话很加分。

5.4 我自己的复习方法：一次改参数，顶十道新题

如果你期末时间紧，我不建议一口气刷几十道递推式。更好的办法是拿一道题反复改参数，观察答案变化。

就拿 T(n)=4T(n/2)+f(n) 做模板：

• f(n)=n，结果接近 Theta(n^2)；
• f(n)=n^2，结果是 Theta(n^2 log n)；
• f(n)=n^2 log n，结果是 Theta(n^2 log^2 n)；
• f(n)=n^3，结果是 Theta(n^3)。

你会发现，合并开销 f(n) 从“小”到“临界”再到“大”的过程中，复杂度的主导项会从“叶子节点多”转向“每层叠加”，最后转向“根节点主导”。这三个区间正好对应主定理的三种情形。

理解了这一层，习题5.1就不再是“一道要背答案的题”，而是一个判断工具。真正考试的时候，你只要看到递推式，大脑里就能自动浮现出递归树的层数、每层开销、以及最终答案的形状。这个熟练度，比临时抱佛脚背十道题靠谱得多。

最后再分享一个小经验：我每次讲递推式，都会让学生在草稿纸上先花十秒钟画递归树，哪怕题目已经明说用主定理。因为这十秒钟能过滤掉至少一半的粗心错误。等到考试时，你哪怕只在脑子里画一下，也能立刻发现自己的答案是不是少了一个log。