LeetCode 818赛车问题：动态规划解法详解

1. 问题背景与核心挑战

LeetCode 818赛车问题是一个典型的指令优化问题。题目要求我们控制一辆初始位置为0、速度为+1的赛车，通过最少的指令序列到达目标位置target。可用的指令只有两种：

• A（加速）：position += speed，speed *= 2
• R（倒车）：speed = -1（如果当前speed > 0）或 speed = 1（如果当前speed < 0）

这个问题的难点在于如何高效地找到最优指令序列。乍一看可能觉得可以用广度优先搜索（BFS）来暴力求解，但实际上面临着状态空间爆炸的问题——因为速度是指数级增长的，导致状态数量会急剧增加。

关键观察：连续执行k次'A'指令后，赛车会到达位置S_k = 2^k - 1，此时速度为2^k。这个数学性质是动态规划解法的基础。

2. 动态规划解法思路拆解

2.1 基础情况分析

当target正好等于2^k - 1时，解决方案显而易见：直接连续执行k次'A'指令即可。例如：

• target=3（2^2-1）：AA（2步）
• target=7（2^3-1）：AAA（3步）

但大多数情况下target不会这么"完美"，这时就需要考虑更复杂的策略。

2.2 两种核心策略

对于一般的target，我们主要考虑两种策略：

策略一：冲过头再回头

1. 执行n次'A'，到达位置2^n - 1（刚好超过target）
2. 执行1次'R'掉头
3. 剩余距离：(2^n - 1) - target
4. 递归求解剩余距离的最优解

总步数：n（加速） + 1（掉头） + dp[(2^n - 1) - target]

策略二：提前掉头试探

1. 执行n-1次'A'，到达位置2^(n-1) - 1（还未到target）
2. 执行1次'R'掉头
3. 执行m次'A'向后走（m从0到n-2）
4. 再执行1次'R'转回正向
5. 计算净前进距离：2^(n-1) - 2^m
6. 剩余距离：target - (2^(n-1) - 2^m)
7. 递归求解剩余距离

总步数：(n-1) + 1 + m + 1 + dp[剩余距离] = n + m + 1 + dp[...]

3. Java实现详解

java复制class Sol