动态规划实战：打家劫舍系列算法解析

1. 动态规划经典问题：打家劫舍系列解析

今天我们来拆解算法训练中经典的"打家劫舍"问题系列，包含三个不同变种：基础版（198题）、环形版（213题）和二叉树版（337题）。这三个问题层层递进，是动态规划（DP）应用的绝佳案例。作为算法工程师，我经常在面试中考察这类问题，因为它能很好地检验候选人对DP思想的理解深度。

打家劫舍问题的核心在于：在不触发警报的情况下，如何选择最优的房屋组合使得总收益最大化。警报触发的条件是相邻房屋在同一晚被打劫。三个变种分别对应不同的房屋排列方式——线性排列、环形排列和二叉树排列。我们将从最简单的线性DP开始，逐步深入到需要结合树形DP的复杂场景。

提示：建议按顺序学习这三个问题，理解DP思想如何从一维扩展到二维，再到树形结构。这是掌握动态规划思维的关键路径。

2. 基础版：线性排列房屋（198.打家劫舍）

2.1 问题描述与状态定义

给定一个非负整数数组nums，表示沿街排列的房屋中的金额。作为专业劫匪，你需要在不触动警报的情况下（不能连续打劫相邻房屋），计算今晚能盗取的最高金额。

示例：
输入：[2,7,9,3,1]
输出：12
解释：选择第1、3、5号房屋（2+9+1=12）

状态定义是DP问题的核心。对于这类最值问题，我们通常定义dp[i]为考虑前i个房屋时能获得的最大金额。关键在于理解"考虑"的含义——它不一定包含第i个房屋，只是表示决策进行到了第i个位置。

2.2 状态转移方程推导

对于第i个房屋，我们有两个选择：

1. 打劫它：那么不能打劫i-1，最大金额为dp[i-2] + nums[i]
2. 不打劫它：最大金额保持为dp[i-1]

因此状态转移方程为：
dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])

边界条件：
dp[0] = nums[0] （只有一间房时必选）
dp[1] = max(nums[0], nums[1]) （两间房选金额大的）

2.3 空间优化与实现

基础实现需要O(n)空间，但观察发现dp[i]只依赖前两个状态，因此可以优化到O(1)空间：

python复制def rob(nums):
    if not nums: return 0
    prev1 = prev2 = 0
    fo