LeetCode 699题：掉落的方块解法详解与优化

1. 问题分析与解法概述

LeetCode 699题"掉落的方块"是一个经典的区间合并与高度计算问题。题目描述如下：给定一系列方块的掉落位置和边长，每个方块会垂直落下并停靠在其他方块或地面上。我们需要实时记录每次方块落下后的最高高度。

1.1 问题核心分析

这个问题的核心在于如何高效地处理区间重叠和高度计算。每个方块可以用一个区间[left, right]表示，其中left是方块的左边界，right=left+sideLength。当新方块落下时，我们需要：

1. 找出所有与新方块区间重叠的已有方块
2. 计算这些重叠方块中的最大高度
3. 新方块的高度=最大重叠高度+自身边长
4. 更新全局最大高度

1.2 解法思路对比

针对这个问题，常见的解法有四种：

1. 暴力模拟法：直接遍历所有已有方块检查重叠，时间复杂度O(n²)
2. 有序集合优化法：使用TreeMap存储区间边界，时间复杂度O(n log n)
3. 线段树法：使用线段树进行区间查询和更新，时间复杂度O(n log n)
4. 优化模拟法：改进的暴力法，更易理解但时间复杂度仍为O(n²)

2. 暴力模拟法详解

2.1 实现思路

暴力模拟法是最直观的解决方案。我们维护一个列表存储所有已落下方块的区间和高度。对于每个新方块：

1. 遍历所有已有方块，检查是否有区间重叠
2. 找出重叠方块中的最大高度作为基础高度
3. 新方块高度=基础高度+自身边长
4. 更新全局最大高度

2.2 代码实现

java复制class Solution {
    public List<Integer> fallingSquares(int[][] positions) {
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        // 存储每个区间的 [左边界, 右边界, 高度]
        List<int[]> intervals = new ArrayList<>();
        
        int maxHeight = 0;
        
        for (int[] pos : positions) {
            int left = pos[0];
            int sideLength = pos[1];
            int right = left + sideLength;
            
            // 计算当前方块落下后的基础高度
            int baseHeight = 0;
            
            // 遍历已有的区间，找出当前方块下方最高的点
            for (int[] interval : intervals) {
                // 检查区间重叠
                if (interval[0] < right && interval[1] > left) {
                    baseHeight = Math.max(baseHeight, interval[2]);
                }
            }
            
            // 当前方块的高度 = 基础高度 + 自身边长
            int currentHeight = baseHeight + sideLength;
            
            // 将新区间加入
            intervals.add(new int[]{left, right, currentHeight});
            
            // 更新全局最大高度
            maxHeight = Math.max(maxHeight, currentHeight);
            res.add(maxHeight);
        }
        
        return res;
    }
}

2.3 复杂度分析

• 时间复杂度：O(n²)，因为对于每个新方块，都需要遍历所有已有方块检查重叠
• 空间复杂度：O(n)，需要存储所有方块的区间信息

2.4 适用场景

暴力模拟法适合：

• 面试中快速实现
• 数据规模较小的情况(n≤1000)
• 需要简单直观的解决方案时

提示：虽然时间复杂度较高，但在LeetCode上对于小规模数据仍然可以通过