Python实战：用蒙特卡洛法估算圆周率，顺便聊聊它为啥不准（附完整代码）

在数学的奇妙世界里，圆周率π总是散发着独特的魅力。从古至今，数学家们发明了无数种计算π的方法——从阿基米德的割圆术到无穷级数展开，从梅钦公式到拉马努金的惊人发现。但有一种方法格外引人注目：它不需要复杂的数学推导，只需要随机撒点就能逼近π值，这就是蒙特卡洛方法。

蒙特卡洛法最迷人的地方在于，它将抽象的数学概念转化为直观的几何实验。想象一下：你在一块方形靶子上随机投掷飞镖，通过统计落在内切圆中的飞镖比例，就能估算出π的值。这种方法不仅适合编程实现，更能帮助我们理解概率统计的核心思想。但有趣的是，你会发现这种方法得到的结果时好时坏——这正是我们今天要探讨的重点。

1. 蒙特卡洛法原理与实现

蒙特卡洛方法的核心思想非常简单：通过大量随机采样来近似计算难以解析求解的问题。在π的估算中，我们可以利用单位圆与其外接正方形面积之间的关系。

具体来说，考虑一个边长为1的正方形，其内切圆的半径为0.5。两者的面积比为：

• 正方形面积 = 1 × 1 = 1
• 圆的面积 = π × (0.5)² = π/4

因此，π = 4 × (圆的面积/正方形面积)。当我们随机在正方形内撒点时，落在圆内的点比例就近似于面积比。

下面是一个完整的Python实现：

python复制import random

def estimate_pi(num_samples):
    """使用蒙特卡洛方法估算圆周率"""
    points_in_circle = 0
    
    for _ in range(num_samples):
        x = random.uniform(0, 1)
        y = random.uniform(0, 1)
        distance = (x - 0.5)**2 + (y - 0.5)**2
        
        if distance <= 0.25:  # 半径0.5的平方
            points_in_circle += 1
    
    return 4 * points_in_circle / num_samples

# 使用示例
random.seed(42)  # 设置随机种子保