LeetCode加一题解：从进位传播到边界条件，彻底吃透数组加一

开头先啰嗦一句：如果你的刷题列表里躺着这道题，你可能觉得它简单到不值得写笔记。但等你真正在面试白板前写过一遍，或者帮人 review 过代码，你就会发现，越是这种看起来人畜无害的题，越容易在细节上翻车。“加一”这题我前前后后遇到过三次翻车现场：一次是新手直接用 int(''.join(...)) 转数字加一再转回数组，结果被大数溢出按在地上摩擦；一次是没考虑 999 这种全是 9 的输入，返回了 [0, 0, 0]；还有一次是陷入了“要不要原地修改”的纠结，把简单问题复杂化。所以这次把题目的完整笔记整理出来，从题目本质、解法演变、边界条件到面试考察逻辑都梳理一遍，希望能帮你把这道题彻底吃透。

1. 题目本身很简单，为什么值得专门写一篇笔记

很多刷题的人有个误区，觉得简单题就是送分题，看一眼答案就划走。但实际上面试里遇到的中低难度题，恰恰是区分“背过答案”和“真懂原理”的分水岭。加一这道题，LeetCode 上是 Easy 难度，通过率却一直在 45% 上下徘徊，说明有一半的人第一次提交是错的。这个数据本身就说明问题了。

1.1 题目描述与本质拆解

原题说的是：给定一个由整数组成的非空数组所表示的非负整数，在该数的基础上加一。最高位数字存放在数组的首位，数组中每个元素只存储单个数字。你可以假设除了整数 0 之外，这个整数不会以零开头。

举个例子：

• 输入 [1, 2, 3]，代表数字 123，加一后得到 124，输出 [1, 2, 4]
• 输入 [4, 3, 2, 1]，代表数字 4321，加一后得到 4322，输出 [4, 3, 2, 2]
• 输入 [9]，代表数字 9，加一后得到 10，输出 [1, 0]

表面上看，这就是个“小学数学加法”的数组模拟。但它的本质其实是一个数字进位与存储结构转换的问题：你把一个整数按十进制位拆开，存进一个数组，然后对这个“拆开后的数字”执行一次加一操作，最后还要以同样的结构返回结果。

这里面的核心矛盾在于：数组的每一位都是独立的，而加法偏偏是带进位的。进位一旦产生，就会向高位传播，传播到最高位时还会导致数组长度增加。这个“长度变化”是所有新手最容易忽略的地方。

1.2 题目常见的三个翻车点

我见过最多的错误有三个：

第一，试图用语言自带的数字类型直接转换。比如 Python 里写 str(int(''.join(map(str, digits))) + 1)。这个写法在数字比较小的时候没问题，但题目并没有限制数组长度，一旦数组有几十位甚至上百位，int() 转换出来的数字早超过语言支持的整数范围了。Python 的 int 虽然理论上不限长度，但很多其他语言（比如 Java 的 int、C++ 的 long long）会直接溢出，这种行为本身就是面试官最不想看到的——说明你根本没有考虑数据规模。

第二，没有处理“全是 9”的情况。比如输入 [9, 9, 9]，加一后应该是 [1, 0, 0, 0]，数组长度从 3 变成了 4。有人写循环的时候只改了末尾的 9，没处理最高位的进位，最后返回 [0, 0, 0] 或者 [0, 0, 0, 0]，完全不对。

第三，纠结于“原地修改”。题目没有说不能新建数组，但很多人看到“数组”就默认要原地操作，结果为了原地修改写了一堆复杂的指针移动，反而把自己绕晕了。其实这个题在原地修改和新建数组之间，时间复杂度都是 O(n)，空间复杂度最坏情况下也只是 O(1) 或 O(n) 的区别，完全没必要为了“看起来更优”而牺牲代码清晰度。

所以这道题的价值不在于“难”，而在于它在很小的体量里，把进位传播、边界处理、数组与数字的映射关系全都考了一遍。它不是那种看一眼就知道答案的题，而是需要你在心里走一遍加法运算的完整过程。

2. 核心思路：从小学数学出发理解进位机制

先说结论：这道题的最优解法，时间复杂度是 O(n)，空间复杂度是 O(1)（不考虑返回数组占用的空间）。思路简单到让人怀疑人生——从数组最后一位开始，模拟一次“加一”的竖式加法过程，唯一需要处理的就是“逢十进一”的传播。

但“简单”不等于“理所当然”。我在复盘的时候发现，真正把这道题吃透的人，都知道三条隐藏的观察结论，这三条结论才是写出优雅代码的基础。

2.1 观察一：加一操作只会影响从末尾开始的一段连续 9

这个观察是整个题目的题眼。你想象一下一个数在十进制下长什么样，比如 12345，加一之后变成 12346，只有最后一位变了。如果末尾是 1239，加一后变成 1240，影响到了倒数第二位。如果末尾是 1299，加一后变成 1300。如果是 9999，加一后变成 10000，每一位都变了，而且数组长度还多了一位。

也就是说，进位是从低位向高位逐位传播的，而且一旦某一位加一后不等于 10，进位链就断了，更高位完全不需要动。这就是“从后往前遍历，遇到不是 9 就停”这个策略的依据。

有些题解会把这个问题说成“找到最右边那个不是 9 的位置”，我觉得