算法竞赛实战：分块、BFS等六题精解

1. 算法竞赛实战解析：从分块到BFS的六道经典题解

最近参加了一场算法竞赛，遇到了六道颇具代表性的题目，涵盖了分块算法、前缀和、动态规划、贪心、BFS等多种算法。作为算法竞赛爱好者，我想把这些题目的解题思路和实现细节分享给大家，特别是其中一些容易踩坑的地方。

2. T1：分块算法解决数学求和问题

2.1 题目重述与分析

给定整数n，要求计算Σ⌊n/i⌋（i从1到n）。直接暴力计算的时间复杂度是O(n)，当n很大时（比如1e12）会非常低效。

观察发现，⌊n/i⌋的值会形成多个连续的区间。例如n=100时：

• i∈[1,1]时，⌊100/i⌋=100
• i∈[2,2]时，⌊100/i⌋=50
• ...
• i∈[51,100]时，⌊100/i⌋=1

2.2 分块算法实现

分块算法的核心思想是找到每个相同⌊n/i⌋值的区间[i,j]，然后一次性计算这个区间的贡献。

cpp复制#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,sum;
signed main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int val=n/i;      // 当前区间的值
        int r=n/val;      // 区间的右端点
        sum+=val*(r-i+1); // 区间[i,r]的贡献
        i=r;              // 跳过已处理的区间
    }
    cout<<sum;
}

注意事项：

1. 必须使用long long类型，因为n和sum都可能很大
2. i=r的赋值很关键，直接跳过已处理的区间
3. 时间复杂度从O(n)优化到O(√n)

3. T2：前缀和优化差的平方和

3.1 问题转化

给定序列a，要求计算所有无序对(i,j)的(a_i-a_j)²之和。直接计算是O(n²)的，需要优化。

展开平方公式：
Σ(a_i-a_j)² = Σ(a_i² - 2a_ia_j + a_j²) = nΣa_i² - 2ΣΣa_ia_j

3.2 前缀和优化实现

利用前缀和可以在