悬臂梁振动控制：基于有限元建模与LQR控制器设计

做悬臂梁振动控制研究的时候，我踩过最大的坑就是把模型想得太简单了。早先为了图省事，直接用等效单自由度模型凑了一个LQR控制器，仿真曲线看着挺漂亮，结果一上实物，控制力完全压不住二阶模态，梁尾部的振动反而被激励起来了。那段时间我才真正意识到，凡是涉及分布参数系统（悬臂梁就是典型代表）的最优控制，建模精度直接决定控制器设计的成败。这篇文章分享的，就是我用有限元方法建立悬臂梁动力学模型、在此基础上设计LQR控制器，并用Matlab完成从矩阵装配到闭环仿真验证的完整过程。文中会给出可直接复现的建模思路和关键代码片段，也把我在调参和模态截断上踩过的坑一起写清楚，适合正在做结构振动控制课题的研究生，以及想把主动控制落到工程实物的工程师参考。

1. 为什么悬臂梁的振动控制必须先过有限元这个坎

1.1 单自由度模型与集中参数方法在悬臂梁场景下的失效逻辑

很多教材讲振动控制，开头都是弹簧-质量-阻尼系统，然后把LQR控制律推导一遍，最后在Simulink里拉一个状态空间模块就完了。这种处理方式在教学上是合理的，但放到悬臂梁上，问题就来了：悬臂梁的振动本质上是连续弹性体的变形运动，它有无穷多个固有频率和振型。当你用等效质量、等效刚度去压缩它的动力学特性时，等于强行把无穷维系统截断成一阶，丢失了高阶模态的信息。

我在实际仿真中做过一个对比：对一个800mm长的铝制悬臂梁，用一阶等效模型设计LQR，控制器增益是在只考虑一阶模态的前提下算出来的。把这个增益放到有限元模型（保留前五阶模态）里去仿真，控制输入确实能压住一阶模态的振动，但二阶、三阶模态几乎完全没有被抑制，甚至在瞬态过程中因为控制力的高频成分和结构高阶模态耦合，出现了抖动。这个现象理论上的解释是：LQR本质上是线性二次型最优控制，它假设系统动力学完全由状态方程描述，如果状态方程本身就丢掉了高阶模态，控制器就对这些模态"视而不见"。

1.2 有限元建模解决了什么问题

有限元方法的核心思想是把连续体离散成有限个单元，在单元内用形函数插值近似位移场，然后通过能量原理组装出整体的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。这样得到的动力学方程是一个有限维的常微分方程组，但它的维度可以取得足够大，以覆盖你关心的频段内的所有模态。

悬臂梁场景下，有限元模型的优势在于：

• 能准确预测各阶固有频率和振型，LQR设计前的模型校验有了基准；
• 状态变量的物理意义明确（各节点的位移和速度），方便后续传感器/作动器位置的映射；
• 边界条件的处理相对直接，固定端自由度直接约束即可，不像解析法那样需要对超越方程求解。

简单说，有限元就是搭一座桥：把无限维的偏微分方程系统，转成一个维度够高、精度够用的状态空间模型，然后LQR这套现代控制理论工具才能在它上面正常发挥作用。

2. 悬臂梁有限元建模的核心步骤：从单元划分到矩阵装配

2.1 单元选取与网格划分：欧拉-伯努利梁单元够不够用

对于细长悬臂梁（长细比大于10），欧拉-伯努利梁理论已经足够精确。它假设梁的横截面在变形后仍然垂直于中性轴，忽略剪切变形和转动惯量。如果你的梁是短粗梁，或者工作频率非常高、涉及剪切模态，那就得上铁木辛柯梁单元。本项目的悬臂梁属于细长结构，所以选择欧拉-伯努利梁单元，每个单元有两个节点，每个节点有横向位移和转角两个自由度。

单元数量怎么定？我的经验是：前五阶模态的精度要求下，把梁分成10到20个均匀单元就够。比如800mm的梁，取20个单元，每单元40mm，一阶固有频率的计算误差可以控制在1%以内。网格太粗（比如2到3个单元）会导致高阶模态频率严重偏高，LQR控制器在实物上就容易因为频率点错位而失效；网格太细（50个以上单元）对精度提升有限，反而让状态空间维度变大，控制器设计时的计算开销和实现复杂度都上去了。

2.2 单元刚度矩阵与质量矩阵的物理含义

欧拉-伯努利梁单元的刚度矩阵是经典四阶方阵：

code复制k_e = (E*I / L^3) * [ 12   6L   -12   6L ;
                       6L  4L^2  -6L  2L^2 ;
                      -12  -6L    12  -6L ;
                       6L  2L^2  -6L  4L^2 ]

其中 E 是弹性模量，I 是截面惯性矩，L 是单元长度。第(i,j)个元素的物理含义是：当第j个自由度发生单位位移（其他自由度固定）时，在第i个自由度上需要施加的力。注意矩阵中转角自由度（第2、4行/列）对应的是弯矩和力矩的关系，这也是为什么边界条件处理时，自由端的弯矩为零不需要显式施加——它在方程里通过自由度的"未约束"状态自然体现。

质量矩阵有两种选择：一致质量矩阵和集中质量矩阵。一致质量矩阵由形函数积分得到，非对角项不为零，能更准确地反映质量分布的惯性耦合效应；集中质量矩阵则把单元质量集中到节点上，矩阵是对角阵，计算简单。我的建议是：做模态分析和LQR控制，用一致质量矩阵，因为它的固有频率计算结果更准，尤其是高阶模态。集中质量矩阵在显式动力学里常用，但模态精度要差一些。

2.3 边界条件处理与自由度缩减

悬臂梁的固定端在有限元模型里体现为：该节点所有自由度（横向位移和转角）被约束为零。具体操作上，只需在总刚度矩阵和总质量矩阵中删掉对应自由度的行和列即可。这一步不能省略，否则结构会出现刚体模态，模态分析时会看到零频率的刚体运动，LQR计算也会因为系统不可镇定性而出错。

自由度缩减的另一个重要场景是模态截断。有限元模型可能有40个节点共80个自由度，但LQR控制器的反馈增益矩阵维度是控制输入数乘以状态数，状态数太多会带来两方面的问题：一是Riccati方程求解的计算量增大，二是控制器在硬件上很难实时跑（要计算高维矩阵乘法）。工程上常规做法是把物理坐标下的动力学方程转换到模态坐标下，只保留前几阶关键模态，其他模态的贡献可以忽略（或作为未建模动态处理）。

3. LQR控制器设计：从性能指标到反馈增益矩阵

3.1 二次型性能指标的工程含义

LQR的目标是设计状态反馈控制律 u = -Kx，使得下面的二次型性能指标最小：

code复制J = ∫(x'Qx + u'Ru) dt

这个指标函数的工程直觉是：x'Qx 度量的是系统状态偏离零的程度，u'Ru 度量的是控制能量的消耗。Q 越大，越强调状态的快速衰减，控制力会更大；R 越大，越强调节省控制能量，状态衰减会变慢。Q和R的比值关系，本质上是在"控制效果"和"控制代价"之间找一个平衡点。

以一个2m长、矩形截面铝合金悬臂梁为例，如果控制目的是抑制外扰引起的振动，Q阵中对位移状态项的权重可以设得比速度状态大，因为工程上最终关心的是位移振幅。但注意，如果Q中位移权重过大，控制器会对位移误差过于敏感，导致控制力饱和或者高频抖动，需要和R配合调节。

3.2 Q和R的选择策略：不是只有试凑一种路

理论上，LQR的Q和R可以任意选择，系统只要是可控的，Riccati方程就能解出唯一正定解，得到最优反馈增益。但实际调试中，Q和R的选择有很强的经验成分。

我常用的做法是Bryson定律：先把Q设为单位阵乘以某个基准值，R设为单位阵乘以另一个基准值，然后按下式归一化：

code复制Q_ii = 1 / (最大允许的x_i^2)
R_jj = 1 / (最大允许的u_j^2)

这样每个状态项和控制项都折合到量纲统一的水平，避免因为位移是毫米级、速度是米每秒级导致的数值失衡。比如允许位移最大偏差0.01m，允许控制力最大200N，那么Q中对应位移项的系数就是1/0.0001=10000，R就是1/40000=0.000025。这是一个初始估计，之后根据仿真结果微调。

3.3 可控性与全状态反馈的实现条件

LQR设计的前提是系统可控。悬臂梁系统在什么情况下会失控？如果你的作动器布置在某阶模态的节点处（位移为零的位置），那么该阶模态就不可控。常见例子：在梁的固定端附近施加横向力，对高阶模态的控制效率就很低，因为高阶模态在靠近固定端的部位振动幅度很小，力很难激励起这些模态。

全状态反馈在实物上几乎不可能直接获得——你不可能在每个节点都安装传感器来测位移和速度。所以工程上通常有两种变通：一是用少量传感器信号经过降阶观测器重构状态（LQG问题）；二是直接让控制增益作用在可测的输出上，但这已经偏离了严格的LQR最优性。这些我在第6章会展开聊。仿真阶段，我们假设全状态可测，先把LQR的效果上限摸清楚。

4. Matlab代码实现：从有限元装配到LQR闭环仿真

4.1 有限元模型的Matlab实现要点

Matlab里实现有限元模型不需要额外工具箱，直接用基础函数写循环装配就行。核心步骤如下：

1. 定义几何与材料参数；
2. 划分网格，生成节点坐标和单元连接矩阵；
3. 计算每个单元的刚度矩阵和质量矩阵；
4. 装配到全局矩阵；
5. 施加边界条件（删除固定端自由度）；
6. 求解广义特征值问题，得到固有频率和振型，验证模型。

这里给出单元矩阵计算的代码片段：

matlab复制function [Ke, Me] = EulerBernoulliBeamElement(E, I, A, rho, L)
    Ke = (E*I / L^3) * [12, 6*L, -12, 6*L;
                         6*L, 4*L^2, -6*L, 2*L^2;
                         -12, -6*L, 12, -6*L;
                         6*L, 2*L^2, -6*L, 4*L^2];
    % 一致质量矩阵
    Me = (rho*A*L / 420) * [156, 22*L, 54, -13*L;
                             22*L, 4*L^2, 13*L, -3*L^2;
                             54, 13*L, 156, -22*L;
                             -13*L, -3*L^2, -22*L, 4*L^2];
end

全局装配的标准做法是初始化零矩阵，然后对每个单元把4x4子矩阵按自由度映射加到全局对应位置。自由度编号方式建议采用"每个节点两个自由度"交替编号，即节点i的自由度为 (2i-1) 位移、(2i) 转角。

4.2 模态分析与模型降阶

做完装配和边界条件处理后，用eig函数求解广义特征值问题：

matlab复制% K: 刚度矩阵(已删固定端自由度), M: 质量矩阵(已删固定端自由度)
[eigenvectors, eigenvalues] = eig(K, M);
natural_freqs = sqrt(diag(eigenvalues)); % 单位为 rad/s
freq_Hz = natural_freqs / (2*pi);

这里得到的是全阶模态。降阶处理是把动力学方程投影到前n阶模态上：

matlab复制% 取前n_mode阶模态
Phi = eigenvectors(:, 1:n_mode);
Mr = Phi' * M * Phi;
Kr = Phi' * K * Phi;
% 如果按质量归一化，Mr = I, Kr = diag(omega_i^2)

有了模态坐标下的对角质量阵和刚度阵，就可以很方便地加入模态阻尼比（比如取0.01到0.03）。阻尼矩阵在频域里处理为 C_r = diag(2zeta_iomega_i)，直接给到状态空间模型里，比用比例阻尼更直观。

4.3 状态空间构建与LQR求解

状态变量取模态坐标下的位移和速度。假设保留前五阶模态，状态向量维度就是10（2*5），控制输入是单个作动器，输出可以选择某个节点的位移（对应传感器位置）：

matlab复制omega = sqrt(diag(Kr / Mr)); % 各阶固有频率(rad/s)
zeta = [0.01, 0.01, 0.012, 0.012, 0.015]; % 各阶模态阻尼比

A_modal = [zeros(n_mode), eye(n_mode);
           -diag(omega.^2), -diag(2*zeta.*omega)];
B_modal = [zeros(n_mode, 1); Phi' * B_physical]; 
% B_physical: 作动器在每个物理自由度上的作用力分布

这里需要注意：作动器的位置不同，B矩阵就不同。如果是单点力作用在梁上某个节点，B_physical对应位置是1，其余是0。投影到模态坐标时，用 Phi' 乘以物理坐标的B矩阵。

然后就是LQR求解，Matlab自带lqr函数非常方便：

matlab复制% Q: 状态权重矩阵(10x10), R: 控制权重标量
% 状态顺序: [q1..q5, dq1..dq5]
Q = diag([10000, 10000, 5000, 3000, 1000, ...  % 模态位移权重
          100, 100, 50, 30, 10]);               % 模态速度权重
R = 1e-4;

K_lqr = lqr(A_modal, B_modal, Q, R);

得到K_lqr之后，闭环系统矩阵为 A_cl = A_modal - B_modal * K_lqr，用eig可以看闭环极点是否都在左半平面。这一步很快，多试试Q和R就能找到手感。

4.4 仿真验证：脉冲激励与正弦扫频

设计好LQR之后，我用两种方式验证控制效果。第一种是脉冲响应：在梁的自由端给一个初速度扰动，观察开环和闭环的位移响应衰减情况。第二种是正弦扫频：输入扫频激励，观察在共振峰附近闭环系统的幅值衰减。这里给一个简单的仿真框架：

matlab复制dt = 0.0001;  % 采样步长，注意要覆盖到最高考虑模态频率的10倍以上
t = 0:dt:5;
x0 = [zeros(n_mode,1); phi_endpoint' * v0]; 
% phi_endpoint: 自由端节点位移对应的振型分量，v0是初始冲击速度

sys_cl = ss(A_cl, B_modal, C_output, D_output);
[y, t, x] = lsim(sys_cl, u, t, x0);

采样步长这个细节很重要。如果保留到第五阶模态（比如300Hz），那采样率至少要3000Hz以上，dt取0.0001s是够的。但如果只取前两阶模态做仿真，dt取0.001s也无所谓。仿真步长太小会拖慢速度，太大会丢失高频响应，很容易让人误以为控制器失效了。

5. 仿真结果解读与调参经验：模型里的学问往往不在理论上

5.1 固有频率校验：先别急着设计控制器

每次跑完有限元装配，我一定先做一步校验：用Matlab算出的前几阶固有频率和理论解析解对比。悬臂梁的解析固有频率公式是：

code复制f_i = (beta_i^2 / (2*pi*L^2)) * sqrt(E*I / (rho*A))

其中 beta_1 = 1.875，beta_2 = 4.694，beta_3 = 7.855，beta_4 = 10.996，beta_5 = 14.137。这个校验能快速定位装配中的低级错误。我之前有一次把E和I的单位搞混了，界面算出的频率整整大了10倍，后来和解析解一对比才发现是材料参数单位没有统一成国际单位制。

对比结果我放在表里方便参考（800mm铝梁，截面40mm x 5mm，E=70GPa，rho=2700kg/m^3，20个单元）：

高阶模态误差略微增大是正常的，因为单元内形函数对高波数变形形态的表达能力有限。如果第5阶误差超过2%，就该加密网格了。

5.2 加权矩阵的灵敏度：Q和R不是线性调节那么直觉

调Q和R时，我记录过几组参数的效果对比。同样是脉冲激励下自由端位移衰减到1%所需的时间，以及峰值控制力：

可以看到，R增大的效果是控制力更温和，但代价是衰减时间变长。Q的影响类似但没那么陡。这个表的意义在于：调参时不要一次性大改，数量级层面微调。我习惯固定R，先扫一下Q的对数量级，找到衰减时间拐点，再微调R把峰值控制力压到作动器限幅之内。

5.3 模态截断的边界：保留多少阶模态才算够

这个问题取决于你关心的频带和控制带宽。具体操作上，先画出系统从控制输入到位移输出的频响函数（Bode图），看看哪些模态在输入-输出通道中是显著的。如果某个高阶模态在频响中几乎没有峰，那它对LQR设计的影响就可以忽略。

我的建议是至少保留到控制器带宽的1.5到2倍频率处。例如作动器的执行带宽是100Hz，那建模至少要覆盖到150~200Hz，对应到例子里就是前三到四阶模态。保留太多模态的问题在于：高频模态的建模误差大，控制器会把控制能量泄漏到这些不准确的模态上，实物上可能引起高频抖振。所以模态截断不是在"越多越好"和"越少越好"之间取中间值，而是根据控制带宽的物理约束来确定下限，根据建模精度上限来确定不超过多少。

5.4 阻尼比假设对控制器的重大影响

仿真里我用的模态阻尼比是zeta=0.01~0.015，这是铝结构在大气环境下的典型值。但这个值对LQR设计有直接影响：LQR算出的增益是在你给系统设定的阻尼比基础上叠加主动阻尼。如果实物梁的阻尼比和仿真假设差太远（比如装配了摩擦阻尼器，或环境湿度变化导致粘性增加），控制器的表现会明显偏离仿真。所以在做任何控制设计之前，通过实验模态分析（EMA）实测一下阻尼比很有必要。仿真里可以大胆假设，实物里就必须实测。

6. 从仿真到实物悬臂梁控制：模型里不会告诉你的差距

6.1 传感器与作动器的非共位问题

数学推导里，全状态反馈假设每个模态的状态都是已知且可控的。实物上，传感器（应变片/加速度计）和作动器（压电片/音圈电机）安装在特定物理位置，它们与模态坐标之间存在一个映射关系。如果传感器恰好位于某阶模态的节点附近，那么该阶模态在输出里几乎不可观测，控制器就"看不见"这阶模态的振动，更谈不上抑制。

更麻烦的是非共位控制（传感器和作动器不在同一位置）会引入额外相位滞后。频响上看，作动器到传感器的传递函数在某些频段可能呈现非最小相位特性，这时候LQR的全状态反馈框架需要额外小心——因为控制器增益是基于状态估计设计的，而估计器的收敛速度直接影响整个闭环的稳定性。

6.2 时滞与零阶保持器效应

数字控制器从采样到输出，必然存在时滞。这个时滞在连续系统设计中常常被忽略，但在实物上，它会把LQR设计的相位裕度吃掉一截。简单估算：如果控制周期是1ms，而系统第5阶模态频率是500Hz（周期2ms），一个控制周期的时滞在该模态频率下造成的相位滞后大约是180度——这足以让本来稳定的闭环变得不稳定。

工程上通常采取两个对策：一是降低控制带宽，让LQR增益不针对过高的模态做强化控制（这又回到了模态截断的讨论）；二是用Smith预估器或状态观测器来补偿时滞。后者在实际嵌入式实现中更常见。

6.3 压电作动器的建模与限幅处理

如果采用压电片作动器，模型的输入通道不能简单理解成施加一个集中力。压电片通过粘结层将应变传递给梁体，等效于在梁上施加一个弯矩对，这个弯矩在有限元模型里需要被正确映射到节点力上。很多人在这一步出的问题最大——直接用点力模型替代压电片作用，得到的B矩阵和实际物理过程相差很大，LQR增益设计得再完美，实物上表现不出来。

此外，压电作动器有电压限制（一般不超过几百伏）和退极化风险，控制力输出必须做饱和限幅。LQR本身没有考虑输入饱和，如果仿真中控制力峰值经常达到限幅值，就需要在仿真里加入饱和环节重跑，或者改用带输入约束的最优控制方法。

6.4 扩展方向：LQG与H∞的取舍

LQR在仿真里效果很好，但实物中全状态测量做不到时，自然延伸是LQG：加Kalman滤波器做状态估计。需要注意的是，LQG的分离定理只有在系统线性、噪声高斯、代价函数二次型的条件下成立，而悬臂梁系统的建模误差、非线性摩擦等因素会破坏这个最优性。实践中，LQG的鲁棒性往往不如直接基于输出反馈的H∞控制。如果你发现实物实验里控制效果和仿真差距太大，先不要急着加复杂算法，先回头确认两点：有限元模型的频率误差是否控制在5%以内，作动器在不同频率下的实际输出力是否和建模时假设的一致。这两点确认好了，通常LQR的理论效果在实物上能复现七八成，剩下的两三成是传感器噪声、时滞和环境扰动带来的，再考虑进阶算法不迟。

7. 可以直接用的Matlab代码框架：核心流程整理

最后给出一段从有限元到LQR的完整流程代码，方便需要的人直接套用修改。代码里保留了必要的注释，其中参数部分需要根据你的梁的实际尺寸修改。

matlab复制% 悬臂梁有限元建模与LQR控制 - 主程序
clear; clc; close all;

% ---------- 1. 材料与几何参数 ----------
E = 70e9;              % 弹性模量(Pa)
rho = 2700;            % 密度(kg/m^3)
L_total = 0.8;         % 梁总长度(m)
b = 0.04;              % 截面宽度(m)
h = 0.005;             % 截面高度(m)
I = b * h^3 / 12;      % 截面惯性矩(m^4)
A = b * h;             % 截面面积(m^2)

% ---------- 2. 网格划分 ----------
n_elem = 20;           % 单元数
L_elem = L_total / n_elem;
n_nodes = n_elem + 1;
n_dof = 2 * n_nodes;   % 每节点2个自由度: 位移+转角

% 节点坐标
node_coords = linspace(0, L_total, n_nodes);

% 单元连接: 每行存储该单元的两个节点编号
elem_nodes = [(1:n_elem)', (2:n_elem+1)'];

% ---------- 3. 全局矩阵初始化与装配 ----------
K_global = zeros(n_dof, n_dof);
M_global = zeros(n_dof, n_dof);

for e = 1:n_elem
    [Ke, Me] = EulerBernoulliBeamElement(E, I, A, rho, L_elem);
    n1 = elem_nodes(e, 1);
    n2 = elem_nodes(e, 2);
    % 自由度映射: 节点n1的位移/转角 = 2*n1-1, 2*n1
    dof_map = [2*n1-1, 2*n1, 2*n2-1, 2*n2];
    K_global(dof_map, dof_map) = K_global(dof_map, dof_map) + Ke;
    M_global(dof_map, dof_map) = M_global(dof_map, dof_map) + Me;
end

% ---------- 4. 施加固定端边界条件 ----------
% 固定端为第1个节点，约束其位移和转角
fixed_dofs = [1, 2];
free_dofs = setdiff(1:n_dof, fixed_dofs);
K = K_global(free_dofs, free_dofs);
M = M_global(free_dofs, free_dofs);

% ---------- 5. 模态分析 ----------
[eigvec, eigval] = eig(K, M);
omega = sqrt(diag(eigval));            % rad/s
freq_Hz = omega / (2*pi);

% 排序
[freq_Hz, idx] = sort(freq_Hz);
eigvec = eigvec(:, idx);

disp('前5阶固有频率(Hz):');
disp(freq_Hz(1:5)');

% ---------- 6. 模态截断与状态空间构建 ----------
n_modes = 5;
Phi = eigvec(:, 1:n_modes);            % 模态振型(自由度缩减后)
Mr = Phi' * M * Phi;                   % 模态质量矩阵
Kr = Phi' * K * Phi;                   % 模态刚度矩阵
omega_modes = sqrt(diag(Kr / Mr));

zeta = [0.01, 0.01, 0.012, 0.012, 0.015];

% 状态空间矩阵: 状态x = [q; dq]，q为模态坐标
n_state = 2 * n_modes;
A = [zeros(n_modes), eye(n_modes);
     -diag(omega_modes.^2), -diag(2*zeta.*omega_modes)];

% 作动器作用位置: 自由端节点(最后一个节点)施加横向力
force_node = n_nodes;                  % 自由端节点编号
force_dof_global = 2*force_node - 1;   % 横向位移自由度(全局编号)
% 在缩减自由度空间中的位置
force_dof_free = find(free_dofs == force_dof_global);
B_phys = zeros(length(free_dofs), 1);
B_phys(force_dof_free) = 1;            % 单位集中力
B = [zeros(n_modes, 1); Phi' * B_phys];

% 输出: 自由端位移 (传感器位置与作动器相同 = 共位)
C_phys = zeros(1, length(free_dofs));
C_phys(force_dof_free) = 1;
C = [C_phys * Phi, zeros(1, n_modes)];
D = 0;

% ---------- 7. LQR设计 ----------
Q = diag([10000, 10000, 5000, 3000, 1000, 100, 100, 50, 30, 10]);
R = 1e-4;
K_lqr = lqr(A, B, Q, R);

% ---------- 8. 闭环仿真 ----------
A_cl = A - B * K_lqr;
sys_open = ss(A, B, C, D);
sys_closed = ss(A_cl, B, C, D);

% 脉冲扰动: 初始状态在模态坐标中，自由端有初速度
v0 = 0.1;   % m/s
x0_modes = Phi' * zeros(length(free_dofs), 1);   % 初始位移=0
x0_vel = Phi' * (C_phys * Phi)';                 % 近似：给自由端初速度
x0 = [x0_modes; Phi' * (zeros(length(free_dofs),1) + ... 
     (1:length(free_dofs) == force_dof_free)' * v0)];

dt = 1e-4;
t = 0:dt:5;
[y_open, t] = impulse(sys_open, t);
[y_close, t] = impulse(sys_closed, t);

% 这里演示用impulse即可，初值响应也可以用initial
figure;
subplot(2,1,1);
plot(t, y_open, 'b'); hold on;
plot(t, y_close, 'r'); grid on;
xlabel('时间(s)'); ylabel('自由端位移(m)');
legend('开环', 'LQR闭环'); title('自由端脉冲响应');

代码里我特意保留了自由端初速度激励和脉冲响应两种验证方式。初值响应用来自定义初始状态，更贴近"给梁敲了一下"的物理场景，和实验对照起来比较直观。

使用这段代码时，有几个改动点需要你注意：一是作动器和传感器的位置直接对应force_dof_global和C_phys的定义，改动位置时不要只改注释；二是Q矩阵的前5个对角元对应模态位移权重，后5个对应模态速度权重，如果n_modes改了，Q的维度要同步调整；三是模态阻尼比zeta，有实验数据就换实测值，没实验数据先用0.01量级。按这个框架，把参数替换成你自己的梁，应该半天内就能跑出一组能用的LQR控制器。