LeetCode 1689题解：十-二进制数的最少数目

1. 问题背景与题目解析

LeetCode 1689题"十-二进制数的最少数目"乍看之下像是一道常规的数学题，但实际考察的是对问题本质的洞察力。题目要求我们找出表示给定十进制数n所需的最少十-二进制数个数。所谓十-二进制数，是指每一位只能是0或1的十进制数，比如1、10、11、100等都是合法的十-二进制数。

我第一次看到这个题目时，下意识地开始思考如何拆分数字、如何进行组合优化。但经过仔细分析后发现，这其实是一个典型的"脑筋急转弯"类问题，关键在于发现隐藏的数学规律，而不是使用复杂的算法。

2. 十-二进制数的数学特性

要理解这道题的解法，首先需要明确十-二进制数的几个关键特性：

1. 每个十-二进制数的每一位只能是0或1
2. 十-二进制数的数值大小不受二进制转换规则限制（即"10"表示十，而不是二）
3. 多个十-二进制数相加时，各位独立相加，不会产生进位影响

这些特性决定了我们可以将原数的每一位单独考虑。例如，数字32可以分解为11+11+10，共3个十-二进制数。但有没有更优的分解方式呢？

3. 关键突破：发现最大数字规律

经过多次尝试不同数字的分解后，我注意到一个关键现象：所需十-二进制数的最少数目实际上等于原数字中最大的那个数字。比如：

• 数字32：最大数字是3 → 需要3个十-二进制数（11+11+10）
• 数字82734：最大数字是8 → 需要8个十-二进制数
• 数字5：最大数字是5 → 需要5个1相加

这个发现看似简单，但却是解决问题的核心。为什么这个规律成立？因为每个十-二进制数在同一数位上最多贡献1，所以对于数字d，至少需要d个十-二进制数才能凑够这个数字。

4. 算法实现：一次遍历解决方案

基于上述发现，我们可以设计出极其高效的算法：

1. 将输入数字n作为字符串处理（避免数字转换的开销）
2. 遍历字符串的每一个字符（即每一位数字）
3. 记录遇到的最大数字
4. 最终的最大数字就是答案

这个算法的时间复杂度是O(L)，其中L是数字的位数，空间复杂度是O(1)，因为只需要常数空间存储最大值。

以下是Python的实现代码示例：

python复制def minPartitions(n: str) -> int:
    return int(max(n))

令人惊讶