素数筛法详解：试除法、埃氏筛与欧拉筛的复杂度与选型

聊素数算法之前，我先说个我自己踩过的坑。有段时间我刷题，遇到“判断一个数是否是素数”就直接用最朴素的循环从 2 试到 n-1，数据小还好，数据一大就超时；后来遇到“输出 1 到 10^7 的所有素数”，我又习惯性地想逐个判断，结果跑了十几秒还没跑完。那时候我才意识到，素数判断和素数筛法其实是两个完全不同的问题——前者回答“单个数字是不是质数”，后者是“把一批数字里的所有质数一次性全部找出来”。如果你也在这两个名字之间绕得晕，或者只是背了欧拉筛但说不清它比埃氏筛强在哪，那这篇文章应该能帮上忙。

这篇东西我不会只丢代码，我会把试除法、埃氏筛、欧拉筛各自的适用场景、优化动机、复杂度推导、以及我在实际做题时踩过的坑都聊清楚。尤其会讲清楚一个很多人没想明白的点：为什么欧拉筛是 O(n)，以及它比埃氏筛“高级”在哪里。文章适合正在学算法的大学生、准备蓝桥杯或 ACM 的选手，也适合工作中偶尔需要写点素数相关逻辑的开发同学。

1. 先理清一个问题：单个数判断和批量筛素数，根本不是一回事

很多人第一次学素数相关算法，都是把“素数判断”“埃氏筛”“欧拉筛”放在一起背的。结果就是：让他判断一个数是不是素数，他先用欧拉筛筛了半天；让他求 1 到 n 的所有素数，他又一个一个去试除。这两种操作看起来都在“找素数”，但其实是两个完全不同的需求，对应的算法思路、复杂度模型、代码写法都完全不同。

1.1 两种需求场景，对应完全不同的解法

第一种需求：判断单个数字是不是素数。比如题目给你一个 n，n 可能大到 10^12，问你它是不是质数。你只需要回答一个问题，不需要关心其他数字。这种场景的解法核心是“试除法”：从 2 开始，逐个检查有没有能整除 n 的数，有就是合数，没有就是素数。

第二种需求：批量求素数。比如题目要你把 [1, 10^7] 范围内的所有素数全部输出，或者给你 m 次询问，每次问 [l, r] 区间内有多少素数。这种场景如果还用试除法，每个数都去试除一遍，那计算量会爆炸。正确的思路是先借助筛法一次性把所有素数标记出来，之后每次查询直接查表，变成 O(1) 的操作。

这俩的区别，就好比“检查某个人是不是小偷”和“把一条街上所有小偷都揪出来”。前者是对单个对象做判断，后者是对整个群体做排查，方法完全不同。

1.2 先看数据范围再选算法，而不是背固定套路

我见过不少初学者喜欢背“模板”，什么题都用同一个算法。这种习惯在题量小的时候没什么问题，但一旦数据范围上来，就会超时或者爆内存。正确做法是拿到题目先看数据范围，再倒推该用什么算法。

这里要强调一个关键认知：复杂度不是按“绝对快慢”看的，而是要结合题目给的时限和数据范围来选。O(sqrt(n)) 和 O(n log log n) 是两个不同维度的复杂度，一个看的是单个数字的大小，一个看的是范围上限。把它们放在同一个维度里去比较“哪个快”，本身就是误区。

1.3 为什么实战里总是要先筛素数表

如果题目有 m 次询问，每次问 [l, r] 内有多少素数，每次都去试除法判断是不现实的。挨个判断的话，一次询问复杂度就是 O((r-l+1) * sqrt(r))，m 次询问直接爆炸。

正确思路是：先用筛法把 [1, MAX] 的素数表筛出来，然后做一个前缀和数组 prefix[i] 表示“从 1 到 i 有多少个素数”，这样每次查询 [l, r] 的答案就是 prefix[r] - prefix[l-1]，一次 O(1) 计算搞定。

这也是为什么“筛法”在竞赛里这么重要的原因——它不只是“把素数找出来”，更是后续很多数论操作的基础。你先把表建好，后面所有查询都变成查表，这才是高效算法的本质。

2. 试除法：单个数判断的朴素起点与三层优化

试除法是判断单个素数最基础的方法，也是很多人写第一行素数代码的开端。它虽然朴素，但通过三层优化，能在绝大多数单次判断场景里直接胜任。

2.1 从 2 试到 n-1 是新手最常见的超时写法

很多人第一个素数判断函数是这么写的：

python复制def is_prime(n):
    for i in range(2, n):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

这段代码逻辑没错，但存在明显效率问题。对于 n = 10^12，它要循环约 10^12 次，哪怕现代 CPU 每秒能跑 10^9 次简单运算，也要 1000 秒以上，这显然不可接受。

真正的优化点在于：你根本不需要试到 n-1，只需要试到 sqrt(n) 就足够了。

2.2 为什么只需要检查到 sqrt(n)

一个数如果存在大于 sqrt(n) 的因子，那么必然也存在小于 sqrt(n) 的对应因子，因为因子是成对出现的。

举个例子，12 的因子对是 (2, 6) 和 (3, 4)，sqrt(12) 约等于 3.46。你从 2 开始试，试到 3 就已经发现 12 能被 3 整除，可以直接返回“合数”，根本不需要去看后面的 4、6、12。如果 n 是素数，比如 17，从 2 试到 4（sqrt(17) ≈ 4.12），发现都不能整除，就可以断定它是素数了。

写成代码就是：

python复制def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    i = 2
    while i * i <= n:
        if n % i == 0:
            return False
        i += 1
    return True

这样循环次数从 n 降到 sqrt(n)，对 10^12 级别只需要 10^6 次，瞬间就能跑完。

2.3 循环边界和特殊值的坑

i * i <= n 这个写法在 C++ 里要注意 int 溢出问题。如果 i 和 n 都是 int 型，ii 在计算时可能溢出成负数，导致死循环或者错误结果。我自己就在这上面栽过跟头，尤其是 n 接近 int 上限的时候，i 只要超过 46340，ii 就超过 int 最大值了，直接溢出。

最稳妥的写法是 i <= n / i，用除法代替乘法，既不会溢出，也避免了浮点数误差。在 Python 里没有 int 溢出问题，但为了习惯一致，我建议也写成 i <= n // i 或者用 math.isqrt(n) 提前算好上界。

另外要处理几个特殊值：n = 0、1 都不是素数，n = 2 是唯一的偶素数。这些边界一定要在函数开头就处理掉，否则会出现逻辑漏洞。

2.4 跳过偶数和 6k±1 规则

判断完边界后，可以先排除偶数。除 2 以外的偶数都不可能是素数，所以一进来先检查 n % 2 == 0，如果成立直接返回 False。然后循环从 3 开始，每次加 2，只检查奇数因子，计算量立刻减半。

更进一步，所有大于 3 的素数都满足 6k±1 的形式。为什么？因为任何整数都可以写成 6k、6k+1、6k+2、6k+3、6k+4、6k+5 这六种形式之一。其中 6k、6k+2、6k+4 都是偶数，能被 2 整除；6k+3 能被 3 整除。所以除了 2 和 3 本身，剩下的候选素数只能是 6k+1 或 6k+5 的形式，也就是 6k±1。

利用这个规律，循环步长可以设为 6，每次只检查 i 和 i+2 两个数：

python复制def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    if n in (2, 3):
        return True
    if n % 2 == 0 or n % 3 == 0:
        return False
    i = 5
    while i * i <= n:
        if n % i == 0 or n % (i + 2) == 0:
            return False
        i += 6
    return True

这样判断一次 10^12 级别的数，实际跑起来大约是微秒级，很多题里都能直接用。当 n 到了 10^18 这个量级，连 sqrt(n) 都是 10^9，试除法就基本没戏了，那时候应该换 Miller-Rabin 这类概率性素性测试。不过主流的算法题里，数据给到 10^12 已经算很大了，上面的优化版本基本都能扛住。

3. 埃氏筛：最朴素的批量筛法，和它的两处关键优化

如果说试除法是“逐个排除”，那埃氏筛就是“批量标记”。它的思路非常简单：准备一张从 2 到 n 的表，默认都是素数；从 2 开始，把 2 的所有倍数标记成合数；然后找到下一个没被标记的数，把它的所有倍数标记成合数。这样一路做下去，最后剩下的就是素数。

3.1 核心思想：把合数一个一个标记掉

埃氏筛的流程可以这样理解：你有一排从 2 开始编号的箱子，每个箱子里放的默认是“素数”。从第一个箱子 2 开始，把它后面所有编号为 2 的倍数的箱子都标记为“合数”。接着找到下一个还是“素数”的箱子，比如 3，再把它后面所有编号为 3 的倍数的箱子标记为“合数”。继续往下走，5、7、11……所有没被标记的数就是素数。

为什么这样做一定能筛出所有素数？因为任意合数一定存在一个小于它本身的质因子，当循环进行到这个质因子时，这个合数必然会被标记掉。比如 49 是合数，质因子是 7，循环到 7 时，49 就会被标记。

python复制def sieve_of_eratosthenes(n):
    is_prime = [True] * (n + 1)
    is_prime[0] = is_prime[1] = False
    for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
        if is_prime[i]:
            for j in range(i * i, n + 1, i):
                is_prime[j] = False
    return [i for i in range(2, n + 1) if is_prime[i]]

注意外层循环只需要到 sqrt(n)，因为更大的素数，它的倍数在 [i*i, n] 范围内，要么还没被标记，要么已经由更小的质因子标记了。

3.2 内层循环为什么从 ii 开始而不是从 2i 开始

这是埃氏筛最容易理解错的地方，也是新手写代码时最常见的“可优化点”。从 2i 开始其实逻辑上也是对的，因为 2i 确实是 i 的倍数，应该被标记。问题在于，这会造成大量重复标记。

举个例子，当 i = 5 时，5×2=10、5×3=15 已经在 i=2、3 时被标记过了，5×4=20 也在 i=2 时被标记过（2×10）。只有当 j = i*i = 25 时，才是第一次出现“这个数之前没有被更小的素数标记过”的倍数。

所以把内层循环起点写在 i*i，能让每一轮只标记“新出现的合数”，减少重复工作量。这个优化很关键，它的效果不是常数级的，而是把复杂度从 O(n log n) 降到了 O(n log log n)，实际运行时间能差出好几倍。

3.3 复杂度怎么来的，为什么是 O(n log log n)

埃氏筛的标记总次数大概是这样的：对于每个素数 p，它的倍数有大约 n/p 个，所以总标记次数是 n/2 + n/3 + n/5 + n/7 + n/11 + ……，也就是 n 乘以所有素数倒数之和。

素数倒数之和的增长速度大约等于 log log n。这个结论来自数论里的一个经典结果：所有不超过 n 的素数倒数之和近似为 ln ln n + B（B 是某个常数）。所以总复杂度就是 O(n log log n)。

这个复杂度直观来说，就是比 O(n) 多一点，但比 O(n log n) 少很多。对 10^7 这个级别，n log log n 大约是 2.8×10^7 次操作，和 n 本身差距不到三倍，所以埃氏筛在实际运行中已经非常快了。

3.4 只筛奇数版本：内存和计算量一起减半

如果 n 很大，比如 10^8 甚至 10^9，把所有偶数也存下来就太浪费了。已知 2 是唯一的偶素数，后面只需要考虑奇数，所以可以把数组下标和实际数字做一层映射。

一个很常见的做法是：数组里只存奇数位置，数字 i 存到下标 i//2 的位置。这样数组长度直接减半，内层循环步长也从 i 变成 i*2（因为只标记奇数的倍数）。

python复制def sieve_odd(n):
    if n < 2:
        return []
    is_prime = bytearray(b'\x01') * ((n // 2) + 1)
    is_prime[0] = 0  # 数字 1 不是素数
    primes = [2]
    limit = int(n**0.5)
    for i in range(3, limit + 1, 2):
        if is_prime[i >> 1]:
            for j in range(i * i, n + 1, i * 2):
                is_prime[j >> 1] = 0
    primes.extend(i for i in range(3, n + 1, 2) if is_prime[i >> 1])
    return primes

这里我用的是 bytearray 而不是 Python 的 list。有个重要的细节：Python 的 [True] * (n+1) 其实是一个对象引用数组，每个元素占用 8 字节，10^8 个元素就是 800MB，直接爆内存。而 bytearray 每个元素只占 1 字节，10^8 个才 100MB，只存奇数再减半，大概 50MB，这才适合拿来筛大数据范围。

如果是 C++，bool 数组是 1 字节，10^8 是 100MB，很多 OJ 能过但偏紧。更进一步可以用 bitset，10^8 位大概是 12.5MB，内存非常宽裕，但代码可读性会下降，一般题用不上。

4. 欧拉筛：让每个合数只被筛一次

埃氏筛看起来已经很优秀了，但它的名字里其实藏着一个短板：同一个合数可能被多个质因子重复标记。比如 12，循环到 2 时被标记一次（2×6），循环到 3 时又被标记一次（3×4）。这种重复在数据范围变大后会累积成明显的性能损耗。

欧拉筛，也叫线性筛，就是冲着“每个合数只被筛一次”这个目标去的。它的核心思路是：每个合数只被它的最小质因子筛掉，从而把总操作次数严格压到 O(n)。

4.1 埃氏筛到底浪费在哪：12 被筛了两次

拿 12 举例。埃氏筛处理到 i=2 时，会将 4、6、8、10、12……这些 2 的倍数全部标记；处理到 i=3 时，又会将 6、9、12、15……这些 3 的倍数全部标记。于是 12 在 i=2 和 i=3 这两轮各被标记了一次。

合数越多，这种重复越明显。粗略估计，埃氏筛总标记次数约为 n log log n，而 1 到 n 之间的合数只有大约 n 个。也就是说，实际标记次数比必要的 n 次多出了快两倍。这个冗余虽然不会改变复杂度量级，但确实存在不小的常数开销。

欧拉筛的思路就是把这些冗余全部去掉：给每个合数指定一个唯一的“筛除者”——它的最小质因子。合数 12 只在“最小质因子 2 × 6”这一种组合下被标记，不会被 3×4 再标记一次。

4.2 核心代码：为什么 if i % p == 0 就要 break

先看欧拉筛的标准实现：

python复制def sieve_linear(n):
    is_prime = [True] * (n + 1)
    is_prime[0] = is_prime[1] = False
    primes = []
    for i in range(2, n + 1):
        if is_prime[i]:
            primes.append(i)
        for p in primes:
            if i * p > n:
                break
            is_prime[i * p] = False
            if i % p == 0:
                break
    return primes

这段代码里最关键、也最让人难懂的是 if i % p == 0: break。我当年学的时候也是卡在这一行，想了很久才彻底想明白。

要理解它，先要记住目标：每个合数只被“它的最小质因子 × 某个数”筛掉一次。假设当前遍历到 i，正在依次尝试用素数 p 去筛 i*p。如果 p 能整除 i，说明 p 是 i 的最小质因子。为什么？因为 primes 列表里的素数是按从小到大依次尝试的，第一个能整除 i 的 p，必然是 i 的最小质因子。

这时候，如果继续用后面更大的质因子 q 去筛 iq，iq 这个合数的最小质因子其实是 p 而不是 q。原因很简单：i 本身含有因子 p，所以 iq 一定能写成 p × (i/p × q)，而且 p < q，所以 p 才是它的最小质因子。既然 iq 应该由更小的 p 来筛，那现在用 q 去筛它就违背了“只被最小质因子筛掉”的原则，而且会造成重复标记。所以这时候直接 break，停止用更大的 q 去筛。

反过来，当 i % p != 0 时，p 不是 i 的因子，ip 的最小质因子就是 p 本身（因为 i 的所有质因子都大于 p，或者根本没有小于 p 的质因子）。用 p 去筛 ip，完全符合规则。

4.3 为什么整体复杂度是 O(n)

想证明欧拉筛是 O(n)，可以抓住“每个合数只被标记一次”这一点来分析。

对于任意合数 x，设它的最小质因子是 p。那么 x 一定等于 p × (x/p)。注意 x/p 这个数，它的最小质因子一定大于等于 p，因此当外层循环遍历到 i = x/p 时，内层循环遍历 primes 列表，会在 p 这个位置将 i*p = x 标记为合数。

关键在于，这个标记过程只发生一次。因为在遍历到 p 之前，x 不会被更小的素数标记——更小的素数不是 x 的质因子，也就不会在 i = x/p 这一轮被当作 p 来筛；在遍历到 p 之后，由于 p 是 x/p 的因子，也就是此时 i % p == 0 成立，循环会立即 break，后面更大的素数不会再用更大的 q 去标记 x。

所以每个合数只被标记一次。外层循环每个 i 最多执行一轮内层循环，虽然内层循环本身长度为素数个数，但一旦进入 break 就会提前终止，总执行次数不超过 n 加上合数个数，也就是 O(n)。

4.4 欧拉筛的进阶玩法：同时求欧拉函数和莫比乌斯函数

欧拉筛更大的价值在于，“每个合数被最小质因子筛一次”这个过程，天然适合在筛的同时计算积性函数。以欧拉函数 φ(n) 为例，φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互质的数的个数。

素数 p 的欧拉函数是 p-1；对于合数 i×p，分两种情况：

• 如果 p 不整除 i，那么 φ(i×p) = φ(i) × φ(p) = φ(i) × (p-1)；
• 如果 p 整除 i，说明 p 是 i 的质因子，这时 φ(i×p) = φ(i) × p。

这两条恰好对应欧拉筛内层循环的 if/else 分支：

python复制def sieve_with_phi(n):
    is_prime = [True] * (n + 1)
    is_prime[0] = is_prime[1] = False
    primes = []
    phi = [0] * (n + 1)
    phi[1] = 1
    for i in range(2, n + 1):
        if is_prime[i]:
            primes.append(i)
            phi[i] = i - 1
        for p in primes:
            if i * p > n:
                break
            is_prime[i * p] = False
            if i % p == 0:
                phi[i * p] = phi[i] * p
                break
            else:
                phi[i * p] = phi[i] * (p - 1)
    return primes, phi

莫比乌斯函数 μ 也可以用类似的递推方式求出。所以实际做数论题时，只要记住欧拉筛的框架，一套代码就能把素数表、phi、mu 全部算出来，非常省事。这也是为什么欧拉筛在数论题里几乎是标配工具。

5. 实测对比与选型建议：什么情况下用谁

5.1 1e7 和 1e8 的实测感受

我在本地用 C++ 跑过几个版本，大致感受是这样的：

这里要说清楚：这只是我本机的实测感受，跟编译器、CPU、内存带宽都有关系，不要当作精确性能数据。但从趋势上能看到一个有意思的现象：埃氏筛如果做了只筛奇数优化，实际跑起来可能不输甚至反超欧拉筛，因为欧拉筛的内层循环里多了一次取模和分支判断，指令数并不少。

所以不要迷信“欧拉筛一定更快”。它的优点主要在“确定性的 O(n) 复杂度”和“能顺带算积性函数”，而不在于常数一定最小。相反，埃氏筛的代码更简单，配合只筛奇数优化，在很多场景下其实是更实用的选择。

5.2 我实际写题时的选型逻辑

根据不同的题目条件，我一般按照下面的逻辑选择：

• 只需要判断一个数，n 在 10^12 以内：直接优化试除法，简单可靠；
• 需要筛出 [1, 10^7] 内素数，只求素数表：埃氏筛或欧拉筛都行，看自己哪个写得熟；
• 数据范围顶着 10^8 甚至更大，内存吃紧：埃氏筛 + 只筛奇数 / bitset，内存和常数都能压下来；
• 需要同时筛素数、欧拉函数、莫比乌斯函数：直接欧拉筛，一套代码全搞定。

很多情况下，好的做法并不是“选最强算法”，而是“选最不容易写错的算法”。比如只求素数个数，埃氏筛改写成标记数组的写法非常直观，就算面试手写也不容易出 bug。欧拉筛虽然理论性能好，但 break 条件写错或者数组越界的问题，一旦出现就很难查。

5.3 几个写代码时必须注意的小习惯

最后写点代码层面的细节吧。

C++ 里尽量用 vector<char> 而不是 vector<bool>。vector<bool> 是位压缩的，内存省但处理起来慢，而且它返回的是代理对象，有些场景容易出坑，比如取地址、绑定引用都会有问题。Java 里可以用 boolean[]，要注意默认值是 false。

Python 筛大范围素数建议用 bytearray 而不是 [True] * (n+1)。前面说过，Python list 存的是对象引用，不是真正的 bool 值，8 字节一个元素，几千万以上的范围内存就扛不住了。bytearray 每个元素只占 1 字节，而且可以直接用赋值 0/1 来标记，速度也快不少。

任何时候都要记得处理 n < 2 的情况。判断素数的函数里，n=0、1 都是 False；筛法里，is_prime[0]、is_prime[1] 必须显式置为 False。很多边界 bug 都出在这，我自己写代码的时候每次都先确认这两个下标。

5.4 手工模拟 30 以内的筛选，胜过看十篇教程

最后分享一个我自己的学习方法：学筛法时，随手取 n = 30 这种小范围，把每一步筛掉哪些数手写一遍。

埃氏筛从 2 开始，标记 4、6、8、10……；从 3 开始，标记 6、9、12……；这时候你就会注意到 6、12、18 这些数被重复标记了。然后再手推欧拉筛：i=2 时筛 4，break；i=3 时先筛 6，然后 9，然后因为 3 能整除 3，break；i=4 时先筛 8，然后因为 4 能被 2 整除，break……

写完一遍，你会非常直观地理解“每个合数只被最小质因子筛一次”到底是什么意思。比看十篇教程都管用。想通了这一步，后面的欧拉函数、莫比乌斯函数递推，也都顺理成章了。