积水面积问题解析：左右最大高度法与单调栈实现

1. 积水面积问题概述

积水面积问题是一个经典的算法题目，主要考察对数据结构的理解和应用能力。题目描述了一组由正方体叠起的柱子，要求计算这些柱子之间能够积水的总面积。这个问题在实际生活中有很多应用场景，比如城市排水系统设计、地形蓄水计算等。

1.1 问题形象化理解

想象一排高低不齐的柱子排列在一起，下雨时雨水会积聚在柱子之间的凹陷处。积水的形成需要满足一个基本条件：两侧都必须有比当前位置更高的柱子，这样才能形成"容器"来盛装雨水。

举个例子，给定柱子高度序列：[0,1,0,2,1,2,0,0,2,0]，我们可以这样理解：

• 第一个0和最后一个0是边界，它们不会积水
• 第一个1左右分别是0和2，可以积水1-0=1个单位
• 中间的0左右分别是1和2，可以积水1-0=1个单位
• 以此类推，最终总积水面积为6个单位

1.2 问题数学化表达

从数学角度看，对于每个位置i，它能积存的水量由以下因素决定：

1. 它左侧所有柱子中的最大高度left_max
2. 它右侧所有柱子中的最大高度right_max
3. 当前位置的柱子高度height[i]

积水量计算公式为：
water[i] = min(left_max, right_max) - height[i]
如果结果为正，则计入总量；否则不计入。

2. 解法一：左右最大高度法

2.1 算法思路解析

左右最大高度法是最直观的解决方案，其核心思想是：

1. 预先计算每个位置左侧的最大高度
2. 预先计算每个位置右侧的最大高度
3. 遍历每个位置，用左右最大高度的较小值减去当前高度，得到积水量

这种方法的时间复杂度是O(n)，因为需要三次遍历：一次计算左最大，一次计算右最大，一次计算结果。空间复杂度也是O(n)，需要存储左右最大高度数组。

2.2 代码实现详解

cpp复制#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> height(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >