单调栈、单调队列与KMP：消除冗余比较的三种算法套路

上周有读者问我一个问题：“单调栈、单调队列（滑动窗口）和 KMP，这三样东西到底有什么关联？为什么很多人把 ta 们放在一起复习？”

我想了一下，发现自己当初也是分三次才学会这三种技巧的——先是在刷“下一个更大元素”时认识了单调栈，后来又被滑动窗口最大值虐了一遍才搞懂单调队列，最后在字符串匹配上被 KMP 的 next 数组绕晕过好几天。但真正把它们放在同一个抽屉里对比之后，我才意识到：这三个名字看着像三个独立算法，底层思路其实是一家人。

这篇文章不打算写成教科书式的定义罗列。我会直接从“为什么需要这个结构”“代码怎么写”“哪里容易踩坑”三个角度，把单调栈、单调队列/滑动窗口、KMP 一次讲透。文章末尾还会分享我实际做题时总结的几个通用套路，以及一个很多人问过我的问题：KMP 的 next 数组到底算不算动态规划。

无论你是刚接触算法的新手，还是正在备战笔试面试的候选人，希望这篇能把这三块“硬骨头”里的筋络给你拆开，后面再见到同类题，脑子里能自动弹出一句：“哦，这题可以用那套单调性思维。”

1. 为什么要把这三种“老古董”放在一起学

先说个现象。

你去看 LeetCode 热题、笔试高频题、竞赛入门题，单调栈、单调队列（滑动窗口）和 KMP 出现的频率不算低，但也很少有人把它们当成一个整体去讲。大多数教程的安排是：先讲栈，再讲队列，最后单独开一章字符串匹配。于是很多人的学习路径就变成了——今天会了单调栈，下周忘了；下周学单调队列，又跟单调栈搞混；到了 KMP，只记住“有个 next 数组”，但为什么要那样跳，完全说不清。

我自己的转折点是某天做题时突然意识到一件事：这三种算法本质上都在做同一个动作——“消除冗余比较”。

• 暴力办法为什么会慢？因为大量时间花在了注定不可能产生答案的比较上。
• 单调栈解决的，是把每个元素“左边第一个比我大/小”“右边第一个比我大/小”这类问题的冗余扫描去掉。
• 单调队列解决的，是滑动窗口内重复扫描窗口里每个元素求最大/最小值的低效问题。
• KMP 解决的，是主串与模式串失配时，又把模式串头重新拉回来，导致主串指针反复回退的重复比较。

当你把“消除冗余比较”这句话记在心里，再看这三种数据结构的名字就顺眼多了。它们不是三个孤岛，而是同一个思维在不同场景下的三副面孔。

从面试角度说，这三个点也正好覆盖了三种典型题型：

所以我建议的学习顺序也很固定：先单调栈，再单调队列，最后 KMP。前两个是亲兄弟，学会了单调栈，单调队列只是多了一个“过期淘汰”的逻辑；KMP 则是把“单调性”从元素大小换成了“前缀相等性”，思想依然相通。

2. 单调栈：一次 pop，把前因后果全问清楚

2.1 长在“下一个更大元素”上的直觉

先看一道最入门的题：给定数组 [2, 1, 5, 6, 2, 3]，求每个元素右边第一个比它大的元素。

暴力法很简单：对每个元素，往右扫描到第一个更大的值并记录。这么做的时间复杂度是 O(n²)，当数组长度到 10^5 量级时基本就超时了。

单调栈的思路巧妙在：它不急着回答“某个元素右边第一个更大是谁”，而是边走边维护一个候选区。

具体规则是这样的：

• 我们维护一个栈，栈内元素保持从栈底到栈顶单调递减（或非递增）。
• 遍历数组每个元素 nums[i]，当栈不为空且 nums[i] 大于栈顶元素时，说明对于栈顶那个元素来说，nums[i] 就是它右边第一个更大的数。此时弹出栈顶并记录答案。
• 把当前元素下标入栈。

我刚开始学的时候怎么都绕不过一个弯：为什么“当前元素大于栈顶”时，栈顶的答案就一定是当前这个元素？万一中间隔了别的没用到的元素呢？

其实这正是单调栈的精髓：栈里存的是一群“还没找到右边更大元素”的候选人，而且从栈底到栈顶，它们的位置从左到右排列，值从大到小排列。 当前新元素 nums[i] 出现后，它比栈顶大，说明栈顶这个元素的“等待期”结束了——右侧第一个比它大的，就是当前元素。至于中间有很多不在栈里的元素，它们要么已经找到了答案，要么大小上不可能成为栈顶的“第一个更大值”，所以可以直接忽略。

2.2 单调栈代码模板

以“下一个更大元素的下标差”为例：

cpp复制vector<int> nextGreater(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    vector<int> res(n, -1); // 默认 -1，表示右边没有更大的
    stack<int> st;          // 存下标，方便算距离
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        while (!st.empty() && nums[i] > nums[st.top()]) {
            res[st.top()] = i; // 记录答案，这里可以存下标也可以存值
            st.pop();
        }
        st.push(i);
    }
    return res;
}

注意这里栈里存的是下标，不是元素值。原因很简单：很多题目不仅要你回答“谁更大”，还要计算“距离相差多少”，存下标可以同时拿到值和位置。

如果要找“左边第一个比当前元素大的”，可以换个遍历方向：从右往左扫，或者从左往右扫但改变比较逻辑。本质上都是同一个套路。

2.3 为什么“等于”的判断那么关键

这是单调栈最容易翻车的地方，也是真正考查理解深度的地方。

比如题目要“右边第一个大于等于当前元素的值”，那 while 条件应该是 nums[i] > st.top()，即只有当严格更大时才弹出。如果条件是 >=，遇到相同元素也会弹栈，会导致重复元素的边界答案被错误更新。

反过来，如果要找“右边第一个大于当前元素的值”，重复元素不应该相互覆盖答案时，就必须用 >，且相等元素直接入栈。

我自己以前刷题时为了快，经常随手写一个 >= 或 >，结果样例能过，提交就 WA，后来才明白原因：“大于”和“大于等于”虽然只差一个等号，但应对的是完全不同的定义。 做题前先问自己一句：两元素相等时，谁才是“右边第一个符合条件的”？这决定了你 while 里是 > 还是 >=。